Bemästra flervariabelanalys - Förstå partiella derivator, jacobi och multipelintegraler

Lär dig mer om nyckelbegrepp som t.ex. partiella derivator, multipelintegraler och vektoranalys och se hur de används inom områden som fysik, teknik och ekonomi. Bemästra begreppen och ta din förståelse till nästa nivå med våra lättförståeliga förklaringar och exempel.

Innehållsförteckning

Vad ingår i en kurs i flervariabelanalys?

Följande avsnitt ingår vanligtvis i en kurs i flervariabelanalys

1. Koordinater

Koordinater är uppsättningar av tal som beskriver positioner i rummet, som avstånd från någon referenspunkt. Vi behöver lika många tal som utrymmet har dimensioner för att unikt bestämma platsen för varje punkt.

2. Vektorvärda funktioner

Vektorvärda funktioner är avbildningar från valfritt antal indata till vektorer som har minst två komponenter.

3. Kurvor och parametrisering

Parametrisering avser processen att uttrycka relationer mellan variabler som är beroende av varandra i termer av oberoende variabler, så kallade parametrar. Detta är användbart för att beskriva geometriska objekt som kurvor och ytor.

4. Funktioner av flera variabler

Funktioner av flera variabler har en domän som är flerdimensionell. Därför tar en funktion av $n$-variabler en uppsättning $n$-tal som indata.

5. Gränsvärden och kontinuitet

Kontinuitet för en funktion av flera variabler innebär att gränsvärdet finns som ett och samma värde i alla riktningar. Det vill säga att inga oegentligheter uppstår om en eller flera av dess indatavariabler ändras något

6. Geometri

Geometri är ett fält inom matematiken som handlar om objekt i rummet. Det ger sätt att formellt kvantifiera intuitiva begrepp som avstånd, form och storlek.

7. Partiella derivator

En partiell derivata är analogt med vanliga derivator för funktioner av flera variabler. Faktum är att processen är precis densamma, och när man tar den partiella derivatan av en funktion med avseende på en variabel, behandlas alla de andra som konstanter. Den partiella derivatan av en funktion i $x$ och $y$, med avseende på $x$, betecknas som: $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$

8. Gradient

Gradienten för en funktion av flera variabler är en vektor som pekar i riktningen för den största ökningen, och dess storlek ger motsvarande förändringshastighet. För att bilda gradienten tar vi alla partiella derivator av funktionen och använder dessa som vektorns komponenter. Vanligtvis används symbolen $\nabla$ för att beteckna gradienten: $$\nabla f(x,y) = \left[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right]$$

9. Differentialkalkyl

Differentialer är begreppet av oändligt små förändringar i variabler. Kärnan i differentialkalkyl är relationerna mellan sådana förändringar, som erhålls genom derivator. En differential betecknas genom att sätta en $d$ framför variabeln, och för funktioner som är beroende av flera oberoende variabler är den relativa förändringen additiv: $$df(x,y) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$$

10. Extremvärden

Extremvärden för en funktion förekommer för indata där den tar på sina största och minsta värden. De kan betraktas över hela rymden (globala extremvärden), eller i ett begränsat område (lokala extremvärden).

11. Optimering

Optimering är en gren av matematiken som handlar om att hitta maximala möjliga förbättringar. Med en funktion som beskriver den kvantitet vi vill förbättra, syftar optimering på att hitta de indata som motsvarar extremvärden. I praktiken är alla indatakombinationer inte alltid möjliga, och endast lokala extremvärden kan vara tillgängliga. Detta kallas för begränsad optimering.

12. Implicita funktioner

Implicita funktioner relaterar kvantiteter som är beroende av varandra, utan att ange ett direkt orsakssamband. Till skillnad från explicita funktioner som är formulerade i termer av endast oberoende variabler, är implicita ekvationer som innehåller både beroende och oberoende variabler.

13. Jacobi

Jacobi för en vektorvärd funktion är en matris som innehåller alla de första partiella derivatorna, i en viss ordning, vilka representerar koefficienterna för en linjär approximation av funktionen. I 2D ser Jacobi ut så här: $$ J(u,v) = \left[\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right] $$

14. Dubbelintegraler

En dubbelintegral betraktar integrationen över två variabler samtidigt. Denna extra dimension gör att integrationen motsvarar beräkning av volymen under en yta, snarare än arean under en kurva. Två integraltecken anger denna process: $$I = \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x,y) \;dx \;dy$$ När vi utvärderar uttrycket utför vi en vanlig integration två gånger; en gång för varje variabel, och respektive ordning spelar ingen roll.

15. Trippelintegraler

Trippelintegraler handlar om tre integrationsvariabler. Att ta trippelintegralen, kan tolkas som att beräkna massan av någon densitetsfunktion definierad i en region av 3D-rummet. Tre integraltecken anger denna process: $$I = \int_{z_0}^{z_1} \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz$$ Beräkningen görs precis som för dubbla integraler, bara med ytterligare en integral att utvärdera.

16. Taylorutveckling

En Taylorutveckling av en funktion uttrycker den i termer av dess värde vid någon referenspunkt, och hur den förändras runt den punkten. För en funktion av flera variabler ges förändringshastigheterna av funktionens partiella derivator, och i princip behövs alla partiella derivator för att perfekt representera funktionen. Detta kan resultera i en oändlig summa, kallad en Taylor-serie.

17. Vektor- och skalärfält

Ett vektorfält är ett område i rummet där varje punkt är associerad med en vektor. Dessa kan tilldelas av en vektorvärd funktion som mappar koordinater till komponenterna som utgör sådana vektorer. Om en funktion av koordinater bara matar ut ett enda tal, blir resultatet istället ett skalärt fält. Ett fält är med andra ord inget annat än en funktion av samma antal variabler som dimensionaliteten i utrymmet det lever i, och antalet outputs bestämmer typen av fältet.

18. Kurv- och ytintegraler

En kurvintegral är en enda integral, men i motsats till vanliga integraler kan kurvan vi integrerar över sträcka sig över flera dimensioner. På liknande sätt är en ytintegral en dubbelintegral över ett område som inte är begränsat till endast två dimensioner. För att utvärdera kurv- och ytintegraler används ofta tricket med parametrisering.

19. Vektoranalys

Vektoranalys är utvidgningen av differentiering och integration till vektorfält. Teknikerna används främst för vektorfält i två och tre dimensioner, men teorin gäller för hur många dimensioner som helst.

20. Satser vektoranalys

De mest fundamentala resultaten av vektoranalys är sammanfattade i tre satser: Stokes sats, Greens sats och divergenssatsen. Dessa egenskaper hos vektorfält behandlar fenomenen flux, curl och divergens.

Vad är flervariabelanalys?

Flervariabelanalys, även känd som analys i flera variabler, är en gren av matematiken som handlar om analys av funktioner med flera variabler. Den bygger på begreppen från envariabelanalys och utvidgar dem till problem som involverar flera dimensioner och flera variabler.

Flervariabelanalys behandlar egenskaperna och beteendet hos multivariabla funktioner, inklusive partiella derivator, multipelintegraler (dubbelintegraler, trippelintegraler) och vektoranalys. Denna gren av matematik är väsentlig inom områden som fysik, teknik och ekonomi, där kvantiteter och system kan förändras med avseende på mer än en oberoende variabel. Det används också för att modellera verkliga problem och analysera beteendet hos system med flera dimensioner.

Vanliga frågor

Vad är en partiell derivata?

En partiell derivata är en derivata av en multivariabel funktion med avseende på en variabel, samtidigt som den håller de andra variablerna konstanta. Det representerar förändringshastigheten för en funktion längs en riktning i det multivariabla rummet.

Vad är en trippelintegral?

Grundidén bakom en trippelintegral är densamma som för en dubbelintegral, vilket är att hitta volymen av en tredimensionell region genom att dela upp den i små underregioner och summera värden för funktionen över alla dessa underregioner.

Trippelintegraler används också för att utvärdera massa, tröghetsmoment och andra kvantiteter för fasta kroppar eller massfördelningar.

Vad är vektoranalys?

Vektoranalys är en gren av matematiken som handlar om vektorer och vektorvärda funktioner. Den innehåller begrepp som vektorfält, gradienter, divergens och curl, som möjliggör beräkning och analys av vektorvärderade funktioner i flerdimensionellt rum.

Vad används flervariabelanalys till? - 6 praktiska användningsområden

GPS-teknik

Koordinater används i stort sett överallt. Till exempel, när din GPS informerar dig om din position, är det i huvudsak att ta ett antal koordinater och översätta dem till vardagligt språk som t.ex. - du är 100 meter från McDonald's vid hörnet.

Maskininlärning

Maskininlärning blir ett allt viktigare område. Det används i stort sett överallt, av småskaliga företag, teoretiska fysiker och inom hälso- och sjukvården. Möjligheterna är oändliga! Hur fungerar maskininlärning egentligen? Maskininlärning är, precis som många andra coola tekniker, driven av matematik! Och i synnerhet behöver du förstå konceptet med gradientnedstigning . I grund och botten är det en metod som gör att maskinen får mindre och mindre fel. Så utan matematik hade maskininlärning varit omöjlig!

Väderprognoser

Hur illa kommer orkansäsongen att bli nästa år? Ingen vet säkert, men det hindrar oss inte från att gissa.

Vädret innehåller så utomordentligt komplicerade fenomen att förutsägelser baserade på nuvarande förhållanden kanske inte förutser katastrofala händelser förrän det är för sent att agera.

Istället kan teorier om extremvärden vara vår bästa chans att få en bra känsla för framtida beteende långt i förväg. Denna gren av statistik tittar på data som registrerats från tidigare händelser och uppskattar extremvärdena: de bästa och värsta scenarierna.

Metoden används för komplexa frågeställningar inom samhälls- och naturvetenskap liknande, till exempel för att indikera ekonomiska krascher, eller skador på grund av jordbävningar, innan de har inträffat.

Finans

Inom finansiell matematik är den moderna portföljteorin en matematisk metod för att välja finansiella tillgångar (aktier, obligationer, etc) på bästa sätt.

Vad det egentligen handlar om är att lösa ett optimeringsproblem där du vill plocka tillgångar till din portfölj så att:

Den förväntade avkastningen är maximerad
Risken minimeras

/calculus-several-variables/

Teorin uppfanns på femtiotalet av ekonomen Harry Markovitz. Teorin har sedan dess fått stor användning och Markovitz fick senare Nobelpriset i ekonomi för sitt arbete.

Inom fysik och ingenjörskonst

Flervariabelanalys är ett kraftfullt verktyg som kan användas för att modellera och förstå beteendet hos fysiska system. Detta kraftfulla matematiska ramverk kan appliceras på ett brett spektrum av fenomen, från flödet av vätskor till beteendet hos elektromagnetiska fält.

Ett exempel på detta är studiet av vätskedynamik. Ingenjörer och forskare använder flervariabelanalys för att förstå hur vätskor rör sig och hur de påverkas av yttre krafter. Genom att använda flervariabelanalys kan forskare och ingenjörer studera vätskeflödet i komplexa system som människokroppen, vilket är viktigt för att förstå blodflödet och andra fysiologiska processer. Dessutom är modellering av vattnets vätskedynamik också avgörande för att förstå havsströmmar och klimat.

Ett annat exempel på detta är inom områden som teknik, används trippelintegraler för utvärdering av de elektriska och magnetiska fälten, till exempel för utvärdering av elektromagnetisk energi i en region.

Robotteknik

Inom robotteknik används vektorvärda funktioner för att beskriva rörelsen hos robotar och andra mekaniska system. Till exempel kan positionen för en robots arm beskrivas med en vektorvärd funktion av tid, som ger koordinaterna för armens ändpunkt som en funktion av tiden. Genom att använda vektorvärda funktioner för att beskriva robotens rörelse kan ingenjörer och forskare analysera robotens rörelser och optimera dess prestanda.

Är flervariabelanalys svårt?

Flervariabelanalys kan anses vara mer utmanande än envariabelanalys , på grund av den extra komplexiteten att arbeta med flera variabler. Men begreppen och teknikerna för Flervariabelanalys bygger på de för envariabelanalys, vilket gör övergången till flervariabelanalys hanterbar för dem som har en gedigen förståelse för envariabelanalys.

Sammanfattningsvis är flervariabelanalys ett mer komplext fält än envariabelanalys på grund av den extra komplexiteten att arbeta med flera variabler. Övergången till flervariabelanalys är dock hanterbar med en gedigen förståelse för envariabelanalys, och begreppen och teknikerna för flervariabelanalys bygger på envariabelanalys.

Vad är skillnaden mellan envariabelanalys och flervariabelanalys?

Matematisk analys är ett kraftfullt verktyg för att förstå och analysera matematiska problem, och det finns i två varianter: envariabelanalys och flervariabelanalys. Även om båda formerna av analyser delar många likheter, finns det också några viktiga skillnader och utmaningar att vara medveten om när man går över från envariabelanalys till flervariabelanalys.

En av de största skillnaderna mellan de två är antalet inblandade variabler. Envariabelanalys handlar om funktioner av en enskild variabel, såsom x, y eller t, medan flervariabelanalys handlar om funktioner av två eller flera variabler, såsom x, y och z. Denna extra komplexitet av att arbeta med flera variabler kan göra flervariabelanalys mer utmanande än envariabelanalys.

En annan viktig skillnad är vilken typ av problem som kan lösas med varje form av analys. Envariabelanalys används för att analysera problem som involverar förändringshastigheter och optimering, till exempel att hitta max eller minimum för en funktion. Flervariabelanalys används för att analysera problem som involverar flera variabler och flera dimensioner, som att hitta volymen av ett fast ämne eller kraften på en yta.

Trots dessa extra utmaningar bygger begreppen och teknikerna för flervariabelanalys på de för envariabelanalys. Till exempel, derivatan av en funktion, som är ett grundläggande begrepp i envariabelanalys, används också i flervariabelanalys för att studera hur en funktion förändras när dess variabler ändras.

En matteapp som hjälper dig att lyckas

Vissa använder Elevri som kompletterande material för sina studier. Andra använder bara Elevri. Vårt uppdrag är att inspirera, coacha och göra matematik tydlig.