Bemästra grunderna i envariabelanalys - En guide för nybörjaren

I den här kursen kommer vi att ge en omfattande översikt av envariabelanalys med nyckelbegrepp som gränsvärden, derivator och integraler.

Innehållsförteckning

Vad ingår i en kurs i envariabelanalys?

Följande 23 avsnitt ingår vanligtvis i en kurs i envariabelanalys

1. Gränsvärden

Funktioner är inte alltid definierade för allt indata. Det är till exempel inte tillåtet att dividera med noll. För att se hur funktionen ser ut nära en sådant indata studerar vi gränsvärdena när indatat går mot denna punkt.

2. Kontinuitet

Heltal anses vara diskreta tal; de är fördelade med luckor mellan dem. Uppsättningen av reella tal är dock kontinuerlig, eftersom du alltid hittar fler av dem mellan två reella tal. Samma koncept sträcker sig till funktioner, där en kontinuerlig funktion är en funktion utan luckor.

3. Derivator

En funktions derivata ger dess momentana förändringshastighet vid vilken punkt som helst. Detta är analogt med lutningen på en linje parallell med funktionen där, som tillsammans med begreppet om gränsvärden, formulerar definitionen av derivatan: $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

4. Differentieringsregler

Att hitta derivat är inte alltid enkelt med enbart dess definition. Lyckligtvis är ämnet väl undersökt, och flera praktiska regler har upptäckts, vilket förenklar uppgiften beroende på funktionens form.

5. Medelvärdessatsen

Medelvärdessatsen är enkel, men ändå kraftfull! Mellan två godtyckliga punkter på en kontinuerlig funktion kommer derivatan någonstans att vara lika med lutningen på linjen som förbinder punkterna.

6. Implicit derivering

Om y inte är en funktion av x, men vi fortfarande har en relation mellan de två genom någon ekvation, kan vi inte formulera derivatan som en funktion av x. Detta är fallet för en cirkel med radien $a$: $$x^2 + y^2 = a^2$$ En linje som tangerar denna cirkel kommer att ha lutningen $ -\frac{y}{x}$. Denna derivata är implicit, i motsats till explicit som en funktion av enbart $x$.

7. Inversa funktioner

En funktion är ett sätt att bearbeta tal. Du skickar in något tal och får ut ett nytt. Inversen av en funktion, vänder effekten av en funktion dvs. den tar in den gamla utdatan och spottar ut det initiala indatat.

8. Primitiva funktioner

En primitiv funktion (antiderivata eller obestämd integral) är motsatsen till derivatan. Om en funktion $f(x)$ har derivatan $f'(x)$, är $f(x)$ en primitiv funktion av $f'(x)$. Givet en funktion kan $f(x)$ i sin tur ha primitiva funktioner i sig, som vanligtvis betecknas som $F(x) + C$. Konstanten $C$ kan alltid läggas till eftersom derivatan tar bort alla konstanter.

9. Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen $$\ln(x) = \log_{e}(x)$$ är den logaritmiska funktionen med Eulers tal $e$ som bas. Logaritmer och exponentialfunktioner har ett omvänt förhållande till varandra, och därför svarar den naturliga logaritmen på frågan: Vad är exponenten $a$ som gör att $e^{a} = x$.

10. Derivator av logaritmer och exponentialer

En nyckelegenskap för den naturliga exponentialfunktionen $e^{x}$ är att den utgör sin egen derivata. Detta tillsammans med några regler för exponentiering och differentiering kan användas för att hitta derivatan av valfri exponentialfunktion: $$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln{a}$$ På liknande sätt hjälper det faktum att derivatan av den naturliga logaritmen är $1/x$ oss att bestämma derivatan av den allmänna logaritmiska funktionen: $$\frac{d}{dx}\log_{a}(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

11. Inversa trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner ger information om förhållandet mellan sidolängderna $a$, $b$ och $c$ i en rätvinklig triangel, givet en vinkel $x$. Nu går inversa trigonometriska funktioner åt andra hållet och exponerar vinklarna, givet dessa förhållanden: $$\sin(x) = \frac{a}{c} \implies \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = x$$ $$\cos(x) = \frac{b}{c} \implies \arccos\left(\frac{b}{c}\right) = x$$ $$\tan(x) = \frac{a}{b} \implies \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = x$$

12. Extremvärden och kurvritning

Att visualisera en funktion genom att skissa den kan vara till stor hjälp för att förstå problemet som funktionen modellerar. Extremvärden förekommer på punkter som är särskilt intressanta eller användbara för att måla bilden.

13. Optimering

Optimeringstekniker tenderar att involvera en stor del av matematisk analys. Kärnidén är vad vi kan säga om en funktion och dess derivata där den får sitt maximala värde. Eftersom den inte kommer att öka oavsett vilken riktning vi ändrar $x$ i, finner vi denna punkt där derivatan är lika med noll.

14. Taylorpolynom

Vilken matematisk funktion $f(x)$ som helst kan skrivas som ett polynom av denna speciella form: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Detta så kallade Taylorpolynom kan vara av oändlig ordning, men en bra approximation erhålls ofta genom att beakta tillräckligt många termer och låta referenspunkten $a$ vara nära den punkt $x$ vi är intresserade av. Termer som involverar högre ordningsderivator kan sedan bortses från utan betydande förlust av noggrannhet.

15. Gränsvärdesberäkningar

När gränsvärdet för en funktion inte är omedelbart uppenbar, finns det vissa tekniker vi kan använda för att hitta det. Det kan till exempel vara så att funktionen är ett förhållande mellan två uttryck som båda tenderar till oändlighet när $x$ växer sig större. I ett sådant fall måste vi överväga vilken av dem som växer snabbare jämfört med den andra. En metod för att fastställa detta är att jämföra uttryckens derivator.

16. Integraler

Integraler, betecknade med den ikoniska symbolen $\int$, är nära besläktade med antiderivat. Det visar sig att genom att utvärdera en funktions antiderivata vid två punkter och beräkna skillnaden avslöjar grundläggande information om den situation som funktionen beskriver.

17. Integreringstekniker

Precis som det finns genvägar för att hitta en funktions derivata, kan vi ofta använda standardmetoder för att integrera en funktion beroende på vilken typ av funktion vi står inför.

18. Tillämpningar och generaliserade integraler

Ett något kontraintuitivt resultat från matematisk analys är att även en funktion som sträcker sig oändligt i en riktning kan begränsa ett område av ändlig storlek. I ljuset av detta fenomen är det viktigt att inte dra några slutsatser när man hanterar generaliserade integraler; integraler som involverar oändligheter.

19. Serier

En serie $S$ är en summa av oändligt många termer: $$S = \sum_{n}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$ Addition är förmodligen den mest grundläggande och intuitiva matematiska operationen som finns, och serier ger ofta trevliga och enkla sätt att hantera svåra problem.

20. Riemannsummor och integraler

Om du har svårt att förstå det till synes magiska sättet att beräkna ytor med hjälp av integraler, är du inte ensam. Inte förrän integreringen motiverades av analogin till summor av oändligt smala segment, så kallade Riemann-summor, började majoriteten av matematiker acceptera metoden.

21. Numeriska metoder

Att beräkna integraler analytiskt kan vara smärtsamt för komplicerade funktioner. I vissa fall är det inte ens möjligt på grund av att inte alla funktioner har antiderivat. När vi står inför ett sådant problem är vi glada över att ha numeriska metoder till vår tjänst.

22. Första ordningens LDE

I motsats till vanliga ekvationer, där vi t.ex. ska hitta värdet på en variabel $x$, förklarar differentialekvationer ett samband mellan en funktion och dess derivata, och det vi är ute efter är den ursprungliga funktionen. En linjär differentialekvation av första ordningen kan skrivas i formen: $$f'(x) + af(x) = 0$$

23. Andra ordningens LDE

En andra ordningens differentialekvation är en som innehåller, inte bara derivatan av funktionen vi vill hitta, utan också derivatan av denna derivata: $$f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0$$

Vad är envariabelanalys?

Envariabelanalys (envarre, analys i en variabel) är en gren av matematiken som handlar om att studera funktioner och deras förändringshastighet. Det involverar begreppen derivator och integraler, som används för att studera funktioners beteende och för att lösa problem i en bred olika områden, inklusive fysik, teknik och ekonomi.

Envariabelanalys är vanligtvis uppdelad i två delar: differentialer, som handlar om studiet av förändringshastigheter, och integraler, som handlar om studiet av ackumuleringen av kvantiteter. Tillsammans bildar dessa två grunden för mycket inom modern analys.

Vanliga frågor

Vad är ett gränsvärde?

Ett gränsvärde är ett begrepp som beskriver beteendet hos en funktion när dess indata kommer närmare och närmare ett specifikt värde. Gränsvärdet för en funktion vid en viss punkt är värdet funktionen närmar sig när indatat kommer närmre och närmre den punkten.

Vad är medelvärdessatsen?

Medelvärdessatsen säger att för en kurva som sträcker sig från en punkt till en annan kommer det att finnas minst en annan punkt på kurvan där dess tangentlinje är parallell med den räta linjen mellan ändpunkterna.

Vad är kedjeregeln?

Kedjeregeln är ett grundläggande begrepp i envariabekanalys som används för att differentiera sammansatta funktioner. En sammansatt funktion är en funktion som består av två eller flera funktioner som kombineras. Till exempel, om vi har två funktioner $f(x)$ och $g(x)$ kan vi skapa en ny funktion $h(x)$ som är sammansättningen av $f(x)$ och $g(x)$ genom att definiera $h(x)$ som $h(x) = f(g(x))$.

Vad är grundsatsen för matematisk analys?

Grundsatsen för matematisk analys inom envariabelanalys etablerar sambandet mellan begreppen differentiering och integration. Det finns två delar till satsen, som båda är viktiga för att förstå sambandet mellan dessa två begrepp.

Den första delen av satsen säger att den bestämda integralen av en funktion över vissa intervall kan beräknas genom att utvärdera funktionen vid slutpunkterna för intervallet och ta differensen mellan dem.

Den andra delen av satsen säger att den obestämda integralen av en funktion (även känd som dess antiderivata) kan hittas genom att utvärdera en viss bestämd integral. Tillsammans ger dessa två delar av satsen ett kraftfullt verktyg för att lösa ett brett spektrum av problem inom modern analys.

Vad används envariabelanalys till? - 6 praktiska användningsområden

Beräkningar och analys av priser på varor

Med hjälp av implicita derivator kan man lösa ekvationer där vanlig derivering inte räcker till. T.ex. för att kunna förutspå priser på varor så måste man förstå relationen mellan många olika variabler som påverkar dess pris. I en marknadsekonomi så bestäms priset på alla varor utifrån tillgång och efterfrågan. Implicita derivator är därför ett måste för alla aktiemäklare!

Kryptering

En krypteringsfunktion tar ett meddelande som indata, förvränger det och spottar ut ett kodat meddelande. För att dekryptera ett meddelande måste den inversa funktionen hittas som omvänder krypteringen.

Ett av de mest kända exemplen på kryptering var Enigma, som användes av tyskarna under andra världskriget för att kryptera sina meddelanden. I Enigma tilldelades varje bokstav automatiskt en ny bokstav, vilket gjorde chifferet svårare att bryta.

Kryptologerna uppfann så småningom en maskin för att hitta inställningarna för Enigma. Att bryta Enigma-koden, som var avgörande för krigets utgång, innebar att man konstruerade en invers funktion.

Datering av organiskt material

Kol-14 är en form av kol som finns i allt levande. Men när en organism dör börjar detta radioaktiva element att förfalla med tiden. Därför, genom att mäta mängden kol-14 som finns i ett dött föremål, berättar radiokoldatering oss hur länge sedan organismen dog.

Detta förfall är exponentiellt, vilket innebär att minskningshastigheten beror på den nuvarande mängden kvar. Medan exponentialfunktionen talar om för oss hur mycket kol-14 som finns kvar vid tiden $t$, svarar den naturliga logaritmen på frågan: Med tanke på mängden kol-14 som finns kvar, vad är då $t$?

Dosering av medicin

För att blodsockernivån inte ska nå en farlig mängd bland diabetiker mäter glukosmätare den aktuella mängden i blodet, och signalerar när nivån blir för hög.

Signalen skickas till en insulinpump, som sedan injicerar en dos av detta avgörande hormon. Det hjälper kroppen att överföra glukos från blodet till cellerna där det används som bränsle, och sänker därmed nivån i blodet.

Om vi tänker på mängden blodsocker som registreras av en kontinuerlig glukosmätare som en funktion av tiden, avgör den var och vilka funktionens extremvärden kommer att vara. I huvudsak är det att skissa grafen.

Cancerdiagnostik

Medicinområdet har gjort stora framsteg de senaste åren när det gäller cancerbehandling. Även om den ännu inte är perfekt, har processen att bota patienter från sjukdomen på många sätt optimerats.

Med moderna maskininlärningstekniker kan medicinska team använda olika typer av bildbehandling för att skanna en patientvävnad för att upptäcka tumörer.

En avgörande del av algoritmerna för datorseende som används för att diagnostisera patienter från bilder är att maximera programmets sannolikhet att hitta cancerceller, samtidigt som riskerna för att göra felaktiga förutsägelser minimeras.

Efter diagnos kommer en annan typ av optimering in i bilden då det är dags att bli av med tumören.

För framgångsrik strålbehandling är det viktigt att balansera mängden strålning för att vara effektiv för att döda de maligna cellerna, samtidigt som den inte överskrider en övergripande ohälsosam nivå.

Beräkningar av populationer över tid

Sedan 1970 har mänskligheten utplånat mer än 60 % av alla djurpopulationer. Men vi började långt tidigare: exempel på mänskligt driven utrotning går tillbaka mer än hundra tusen år.

Till exempel är människors ankomst till Sydamerika den mest sannolika anledningen till att djuret som kallas, den gigantiska marksengången, dog ut för ungefär elva tusen år sedan.

Differentialekvationer låter oss beräkna hur många djur av en given population det kommer att finnas någon gång senare i tiden. Vi behöver bara veta hur många vi börjar med och hur mängden förändras.

Är envariabelanalys svårt?

Envariabelanalys är den kurs som mest liknar gymnasiematematik, vilket tenderar att göra studenterna självsäkra. Men många studenter klarar sig sämre på provet än de trodde att de skulle göra, varför?

Anledningen till att studenterna klarar sig sämre än väntat är att de känner en falsk trygghet, eftersom det mesta av materialet kan kännas igen från gymnasiematematiken. Envariabelanalys tenderar dock att vara mycket mer krävande, både i teorin och i problemlösning.

Den svåraste delen av analys i en variabel anses vanligtvis vara begreppet gränsvärden. För att förstå envariabelanalys är det viktigt att kunna förstå idén om gränsvärden, vilket är ett grundläggande koncept som ligger till grund mycket inom envariabelanalys. Ett gränsvärde beskriver beteendet hos en funktion när dess indata kommer närmre och närmre ett specifikt värde. Att förstå hur man utvärderar gränsvärden är avgörande för att kunna arbeta med derivator och integraler.

Andra exempel på svåra begrepp inom envariabelanalys är kedjeregeln , som används för att skilja sammansatta funktioner, och Grundsatsen för matematisk analys, som kopplar samman begreppen differentiering och integration.

Vilka avsnitt är viktiga för flervariabelanalys?

Följande avsnitt i envariabelanalys är särskilt användbara för att förstå och tillämpa även för flervariabelanalys

Gränsvärden: Begreppet gränsvärden är grundläggande för både envariabelanalys och flervariabelanalys . Att förstå egenskaperna hos gränsvärden är väsentligt för att förstå beteendet hos funktioner nära en punkt och för att förstå begreppet kontinuitet.
Derivator: Att förstå begreppet derivata och hur man beräknar det med gränsvärdesdefinitionen, potensregeln, produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln är användbar när man studerar flervariabelanalys , eftersom detta gör att vi kan förstå beteendet hos en funktion i närheten av en punkt, som är grunden för optimering och extrema i flervariabelanalys .
Integraler: Att förstå begreppet definita och obestämda integraler, och hur man beräknar dem med hjälp av grundsatsen för matematisk analys, integration genom substitution och partiell integration är användbart när man studerar flervariabelanalys, eftersom integration är nära besläktad med begreppet area och volymer i flervariabelanalys.
Optimering: Att förstå begreppet optimering och hur man hittar maximi- och minimivärdena för en funktion med hjälp av första- och andraderivator är användbart när man studerar flervariabelanalys.
Implicit derivering: Att förstå begreppet implicit derivering och hur man hittar derivatan av en implicit definierad funktion är användbart när man studerar flervariabelanalys eftersom det kommer att vara användbart för att hitta partiella derivator.
Riemannsummor: Att förstå konceptet med Riemannsummor, inklusive bestämda och obestämda integraler, är användbart när man studerar flervariabelanalys eftersom det kommer att vara användbart för att b.la. förstå dubbelintegraler.

Bra översikt för envariabelanalys och kort att-göra-lista

Vi jobbar hårt för ge dig kunskap kort, koncist och pedagogiskt. Tvärtom till vad amerikanska böcker gör.

Få uppgifter till gamla tentor för envariabelanalys indelade i kapitel

Trixet är att både lära sig teorin och öva på extentor. Vi har kategoriserat dem som gör det extra enkelt.