Varför heter det Rolles sats?
Fransmannen Michel Rolle (1652-1719) var son till en butiksägare. Efter att bara ha fått en del grundskola, lärde han sig matematik på egen hand.
Han gjorde några viktiga bidrag till området matematik, av vilka den mest kända bär hans namn: Rolles sats, ett specialfall av medelvärdessatsen.
Detta teorem är grundläggande för många grundläggande bevis inom matematisk analys - ironiskt nog, eftersom Rolle då var en av de mest högljudda motståndarna till matematisk analys själv!
Ett exempel på medelvärdessatsen
Föreställ dig att stå på ena sidan av en dal, i västra byn. Du vill åka till öststaden på andra sidan. Antingen tar man linbanan över dalen, eller så går man.
Någon gång längs vandringen skulle lutningen vara lika med linbanans lutning.
I medelvärdessatsen liknar vi funktionsgrafen med bergssluttningen. Vid någon punkt mellan vår startpunkt och vår slutpunkt kommer derivatan att vara lika med medellutningen,
där är förändringen i höjd och är förändringen i avståndet.
Och om den västra byn och den östra staden var på samma höjd, skulle det till och med finnas någon punkt där berget var helt platt!
Vilka krav gäller för medelvärdessatsen?
På bilden nedan översätts West village till punkten och East village översätts till .
Om berget har ett stup kan vi inte garantera att linbanans lutning är lika med medellutningen någon gång. Så i medelvärdessatsen kräver vi att funktionen är kontinuerlig mellan och .
Dessutom måste vi kunna hitta bergets sluttning på varje plats. Det betyder att derivatan måste finnas någonstans mellan och .
Om så är fallet, finns det en punkt i det öppna intervallet så att:
Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen, motsvarande fallet där båda byarna ligger på samma höjd dvs om , då .
Vad är medelvärdessatsen?
Medelvärdessatsen säger att för en kurva som sträcker sig från en punkt till en annan kommer det att finnas minst en annan punkt på kurvan där dess tangentlinje är parallell med den räta linjen mellan ändpunkterna.
Som en visuell tolkning, föreställ dig en vandrare på väg uppför ett berg.
På minst en punkt längs vägen kommer markens lutning att vara parallell med den åtdragna kabeln på en zip-line som löper från bergets botten till toppen.
Den räta linjen som förbinder två punkter på en graf kallas en sekansfunktion, och sekansfunktionen ges av funktionens ökning mellan punkterna. Som vi vet vid det här laget ges lutningen av en funktions tangent av funktionens derivata.
Därför kan vi definiera medelvärdessatsen på ett mer formellt sätt:
Låt vara en realvärd funktion. Om är kontinuerlig på och differentierbar på , så finns det en punkt i så att:
Utan villkoren för kontinuitet och differentierbarhet kan vi inte säkert veta att punkten kommer att existera. För att se varför, låt oss återvända till vandraren.
Fjällytan är inte så slät som vi föreställt oss tidigare, utan innehåller istället bara vassa kanter.
Detta skulle bryta mot kriteriet att vara en differentierbar funktion. Även om det potentiellt fortfarande kan finnas en punkt med egenskaperna för , kan vi inte dra slutsatsen att den måste existera. Samma ofullständighet inträffar om funktionen inte är kontinuerlig på intervallet.
Vad är Rolles sats?
Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen för vilken funktionens värde är detsamma för de två slutpunkterna.
Låt vara en realvärd funktion. Om är kontinuerlig på och differentierbar på med , så finns det en punkt i sådan att
