Intro
Johann Bernoulli (1667-1748) var en schweizisk matematiker. Han var mentor till Leonhard Euler, en av matematikens titaner, samt en framstående matematiker i sin egen rätt.
År 1694 erbjöds han franc av Guilllaume de l'Hôpital - en medlem av den franska aristokratin och en mattefantast - för att dela med sig av all sin matematiska kunskap.
Således blev Bernoullis regel för beräkning av gränsvärden känd för efterhand som l'Hôpitals regel .
Koncept
Vissa gränsvärden framgår av konstruktionen av en funktion.
Men ibland står vi inför en situation där:
eller:
vid den givna punkten, eller som . I dessa fall är gränsvärdet inte uppenbar.
Matematisk analys handlar om förändringshastigheter. Genom att jämföra förändringshastigheterna för täljaren och nämnaren kan vi ändå räkna ut gränsvärdet.
Det finns två hack för att beräkna gränsvärden: l'Hôpitals regel (förlåt Bernoulli!), och Taylors sats.
Summering
Tänk till exempel på gränsvärdet:
Diagnos: detta är en 0/0-typ av gränsvärde. Medicin: l'Hôpitals regel eller Taylors teorem.
L'Hôpitals regel säger att:
är ett tal eller . Sedan:
Ett annat alternativ är att använda Taylors sats för att utöka täljaren. Kom ihåg att:
Följaktligen är gränsvärdet :
L'Hôpital's regel
Hittills har vi bara kunnat beräkna den mest grundläggande typen av gränsvärden. Och med det menar jag gränsvärden som kan räknas ut genom att plugga in funktionsvärden eller efter lite algebraiskt arbete och hjälp från standardgränsvärden.
Det finns ett par gränsvärden som, trots att du har genomgått din algebraiska tortyr, inte kommer ut. Dessa är de fruktade och gränsvärden.
I vissa fall kan du använda ett hack som heter L'Hôpitals regel.
Ok, det upptäcktes faktiskt av den schweiziske matematikern Johann Bernoulli. Men en rik fransk kille som heter L'Hôpital betalade Bernoulli för att avslöja alla sina matematiska upptäckter. Därför bär regeln L'Hôpitals namn.
Faktum är att Bernoulli också var den första som upptäckte siffran , vanligen kallad Eulers nummer, Bernoulli borde få mer beröm!
L'Hôpitals regel säger att och gränsvärden kan beräknas genom att differentiera täljaren och nämnaren, förutsatt att de är differentierbara .
Du lägger vanligtvis till det lilla H bara för att markera att du har använt L'Hôpitals regel. För att se hur detta fungerar, låt oss utvärdera följande gränsvärde:
Om vi tillämpar L'Hôpitals regel en gång får vi:
När vi gör det två gånger till får vi:
För att komma till det goda var vi tvungna att använda l'Hôpitals regel totalt tre gånger här. Som du kan se från grafen, närmar sig funktionen verkligen .
Taylorutveckling
Så det finns i princip tre typer av gränsvärden:
Vänliga gränsvärden: Inget konstigt på gång. Koppla bara in några stora -värden och se vad som händer. Du kommer dit med brute force eller genom att använda standardgränsvärden.
- gränsvärden: Använd l'Hôpitals regel.
- gränsvärden: Använd l'Hôpitals regel.
Men l'Hôpitals regel är inte nödvändigtvis ditt bästa val. Du kanske måste beräkna en monstruös derivata och du kan hamna i en -situation igen. Om så är fallet, måste du göra l'Hôpital-grejen igen. Och kanske igen. Fortsätt tills du klämmer ut en nämnare som inte är noll. Varje gång du använder l'Hôpital kan derivatorna bli ännu mer komplicerade.
Men det finns en bättre lösning. Jag vet att det verkar lite långsökt, men vi kan använda Taylor-expansioner för att hantera vissa gränsvärden också.
Titta till exempel på den här gränsvärde:
Du kanske känner igen den här funktionen från avsnittet om L'Hôpitals regel. Där fick vi använda L'Hôpitals regel tre gånger för att få svar.
Med hjälp av Taylor-expansionerna av täljaren och nämnaren får vi:
Det sista uttrycket tenderar till när . Och vi är klara. För att vara rättvis så innebar detta också en del arbete. Vissa gränsvärden är otäcka, oavsett vilka metoder du använder. Men det skulle ha varit svårare att använda l'Hôpital.
Hur som helst, lägg märke till hur villkoren för lägre ordning avbryts, och villkoren för högre ordning än försvinner. Tillfredsställande, eller hur?
