Primitiva funktioner - ett praktiskt exempel
Du kommer försent till jobbet.
Din smarta klocka talar om för dig med vilken hastighet du cyklar och det absoluta avståndet från ditt hem.
Men i verkligheten har du tillryggalagt ett större avstånd, eftersom vägen från ditt hem till din arbetsplats ser ut som bokstaven S . (Dessutom har du varit tvungen att svänga för otaliga människor på elektriska sparkcyklar.)
Hur kan du räkna ut det faktiska avståndet?
Vad menas med en primitiv funktion?
I det här fallet motsvarar derivatan din hastighet. Eftersom hastigheten är derivatan av positionen måste positionen vara vad du får genom att vända differentieringen.
Derivatan är för antiderivatan vad yin är för yang
I generella termer; vad du än får genom att vända differentieringen kallas en antiderivata.
Primitiva funktioner - den allmänna formen
Antiderivator betecknas vanligtvis med versaler. Om hastigheten ges av , blir positionen , och:
Eftersom:
oavsett värdet på , kan vi konstruera ett oändligt antal antiderivator genom att justera .
Den allmänna formen av antiderivatan, , är så viktig att den har ett eget namn: den obestämda integralen. Det betecknas med symbolen , vilket betyder att:
Antiderivata
Antiderivatan är den onda tvillingen av derivatan. Antiderivatan vill ångra allt som derivatan gör, och vända effekten av differentieringen.
Antiderivatan är derivatan onda tvilling
Antiderivatan föddes först, och han är stolt över att vara den äldre tvillingen. Han tror att han är den ursprungliga funktionen, och att derivatan bara är en tråkig spin-off. I differentieringsprocessen går något förlorat.
Om derivatan kallas , kallas antiderivatan, som är den äldre tvillingen, . Antiderivatan definieras som funktionen så att:
Genom att differentiera antiderivatan får du .
Att hitta antiderivatan är till stor del en fråga om att studera exempel. När du väl har byggt en intuition, räknar du ut antiderivatan genom att gissa.
Exempel
Vad händer om ?
Derivatan av är . Så är derivatan av . Det finns alltså flera antiderivator, som:
Faktum är att du kan konstruera ett oändligt antal antiderivator på formen genom att justera värdet på den konstanta termen.
Det är därför antiderivatan tror att han har mer karaktär. Han är mer informationsrik.
Ett annat exempel. Den här gången är . Här är ett förslag:
Verifiera att det är en antiderivata genom att differentiera . Fick du ?
Obestämd integral (primitiv funktion)
Den Obestämda integralen kan ses som ett paraply. Det "täcker" liksom alla möjliga antiderivator .
För den obestämda integralen använder vi denna
symbol. När du väl har fattat det är det ganska tillfredsställande att skriva ut.
Antiderivatan av en funktion är:
Så hela -grejen är antiderivatan. Och när du differentiera antiderivatan hamnar du på igen.
Konstanten är det som mängder den obestämda integralen från antiderivatan. I den meningen är den obestämda integralen bara den generaliserade antiderivata.
Den Obestämda integralen är den generaliserade antiderivata
Dags för ett exempel! Du är ute på en biltur. Låt vara din hastighet som funktion av tiden . Om du differentiera positionen får du hastigheten. Omvänt motsvarar den obestämda integralen av hastigheten positionen. Därför är din position:
Värdet på konstanten beror på var du började. Om är positionen i förhållande till ditt hem och du började på din uppfart, . Men om du började köra från puben, som ligger cirka meter från ditt hem, då .
