Intro
Vi kan ta vattenprover från en förorenad sjö och analysera den för att fastställa föroreningshalten. Säg nu att vi vill ta reda på hur mycket av föroreningarna som finns i sjön totalt, kanske för ett rättsfall.
Det är troligt att innehållet varierar över sjön, eftersom strömmar kan fördela föroreningen ojämnt. Vidare kan flytkraften eller partiklarna göra att föroreningen blir mer koncentrerad vid ytan eller vid sjöns botten.
Mot bakgrund av detta måste vi ta vattenprover från flera olika platser i sjön. Om vi lägger dem alla tillsammans kan vi uppskatta en täthetsfunktion som beskriver hur föroreningsnivån varierar över hela sjön.
Sedan, genom att uttrycka sjöns form matematiskt som en region i 3 dimensioner, kan vi beräkna en trippelintegral av densitetsfunktionen över sjön för att få ett mått på den totala mängden förorening.
Koncept
Trippelintegraler är, som du kanske har gissat, som dubbelintegralen med ytterligare en . Inget läskigt. Och du beräknar dem på samma sätt, egentligen.
Skillnaden är att det inte finns någon snygg geometrisk tolkning. Dubbelintegralen ger volymen under grafen, och trippelintegralen ger, umm, något fyrdimensionellt. Ganska svårt att visualisera, eller hur?
Men du kan använda trippelintegraler för alla typer av beräkningar, även om du inte kan se saker i den 4:e dimensionen! De kan till exempel användas för att beräkna jordens massa.
Summering
En typisk trippelintegral ser ut ungefär så här:
Det är egentligen tre integraler och vår konvention är att börja integrationen med den innersta integralen, det vill säga integrera med avseende på :
För att visa detta konkret, låt oss integrera:
Låt oss fortsätta med nästa inre integral, som är med avseende på :
Låt oss slutligen göra den sista integralen:
Trippelintegraler
Vi introducerar trippelintegralen
Först mötte vi integraler av funktioner av en variabel:
ger oss ett område under kurvan. Sedan tittade vi på dubbelintegralen, som spottar ut en volym:
Vad skulle detta ge oss då?
En hypervolym, är svaret.
Säg att är en funktion som beskriver ett objekts masstäthet. Objektet kan till exempel vara en tårta med någon fluffig kräm som har låg masstäthet och några chokladbitar med hög densitet, etcetera.
Densiteten är massa per volym. Så för att hitta massan för hela objektet (kakan) måste vi multiplicera densiteten med volymen. Men eftersom densiteten varierar, istället för att göra den enkla multiplikationen, tittar vi på varje liten volym och vad densiteten är i den lilla volymen.
Vi multiplicerar dessa två och får massan för den lilla volymen att vara:
Att summera alla oändligt små volymer är detsamma som att ta integralen. Så
är massan i volymen .
Observera också att, på samma sätt som dubbelintegralen, eftersom vi tar trippelintegralen:
vi får bara volymen på .
Beräkna trippelintegraler
Att beräkna trippelintegraler följer lyckligtvis samma princip som för dubbelintegralen. Inför en trippelintegral kan vi göra något av följande: antingen börja med den inre dubbelintegral och sedan integrera resultatet som en enkel integral.
Eller alternativt, börja med den innersta integralen i en dimension, och beräkna sedan den återstående dubbelintegral:
Precis som med de dubbelintegralena kan vi omordna ordningen , och som vi vill (förutom det generaliserade fallet), och andra egenskaper hos dubbelintegralen gäller också.
Det finns integraler av ännu högre ordning också. De kallas multipla integraler, och de är något svårare att visualisera. Men de beräknas på samma sätt som dubbel- och trippelintegralen, genom iterativ integration.
Exempel: massan av ett block
Föreställ dig att vi har ett block med varierande densitet.
Med hjälp av trippelintegraler kan vi beräkna massan av ett sådant block på följande sätt.
Blocket har en massdensitet . Själva blocket definieras av:
och massdensiteten definieras som:
För att hitta massan, integrerar vi densiteten över hela volymen:
Dessa integraler är ofta mycket arbete, men stegen är enkla. Att utföra dessa integraler kan därför vara ganska givande, eftersom det låter dig lösa några mer involverade problem än lägre dimensionella integraler.
Integrering med sfäriska koordinater
Kom ihåg att vi kan använda sfäriska koordinater för att beskriva vilken punkt som helst i . Vi har sett dem tidigare, men här kommer en påminnelse om hur man transformerar från våra vanliga , och : givet en viss radie , använd:
Det är de sfäriska koordinaterna.
När vi gör transformationen omvandlas till
Detta kan beräknas med hjälp av Jacobis determinanten, men beräkningarna är något långa, vi kommer att bespara dig detaljerna här också.
Det är inte så mycket mer i det, förutom att öva. Så håll utkik efter några exempel.
Exempel 1
Beräkna volymen av en sfär där radien är med hjälp av sfäriska koordinater och integration:
Exempel 2
Därefter ska vi beräkna densitetskonstanten för jorden med hjälp av en extremt förenklad modell. Antag att jordmassadensitetsfunktionen är:
. Hitta om vi vet att jordens massa är och jordens radie är är radien. Denna integral blir:
Med hjälp av en variabelersättning kan vi hitta integralen. Vi hoppar över dessa steg i det här exemplet:
Här är solens massa, därför kan vi hitta genom följande beräkning:
Integrering med cylindriska koordinater
Cylindriska koordinater är bara polära koordinater med en -axel. Vi har sett dem förut, men bara för att sammanfatta:
Om vi transformerar mellan våra standard , och till de cylindriska , och , behöver vi inte göra något med . Det förblir detsamma.
Kom ihåg dubbelintegralen med polära koordinater. Där, när vi ändrade koordinatsystem, hade vi stod för omskalning som inträffade när vi ändrade koordinater.
Nu transformerade vi ingenting i -riktningen. Således behöver i cylindriska koordinater bara lägga till lite i för de polära koordinaterna. Detta ger oss:
Denna formel kan också erhållas genom att beräkna Jacobis determinanten. Det är inte svårt, men kräver lite arbete så vi överlåter det till den intresserade som läxa. Annars är formeln redo att användas.
När behöver vi det? Tja, inga överraskningar här: när definitionsmängden är en cylinder. Det kan också vara användbart för mer allmänna fall av en definitionsmängd som är symmetrisk kring en axel.
Exempel
Hitta den totala massan av staven som har en radie på och längd , med materialets densitet som ges av funktionen :
Om vi byter till cylindriska koordinater får vi:
Slutligen kan vi utvärdera integralen till:
