Dubbelintegraler

Kommer du ihåg den intuitiva idén bakom att beräkna följande bestämda integral?

Vi kan föreställa oss detta som att beräkna arean som omges av funktionens graf, -axeln och två vertikala linjer placerade vid och .

Nu för en funktion av två variabler blir grafen en yta, och vår definitionsmängd ligger inte på en enda axel, utan i -planet.

Därför ger integrering volymen som omges av ytan , -planet och någon definierad region i -planet . Eftersom vi har två variabler att integrera med avseende på tar det formen av en dubbelintegral :

Differentialen hänvisar till ett litet område inom området , för vilket multiplicering med ger en smal stapel som är en del av den inneslutna volymen. När man lägger ihop alla sådana staplar får vi en approximation för den totala volymen.

När man målar ett staket spelar det ingen roll om man stryker vertikalt eller horisontellt, färgen täcker hela staketet när det är klart. På samma sätt kan vi lägga till staplarna radvis eller kolumnvis först.

Men precis som att stryka längs lamellerna snarare än tvärs över dem i allmänhet är lättare, kommer det att visa sig vara extremt användbart när det gäller att lösa dubbelintegralen som vi kan välja att integrera i - eller -riktningen först beroende på situation.

Vi kan tänka oss basen för varje stapel som en rektangel med sidorna och . När vi får dessa sidor att närma sig noll får vi skillnaderna och , och vi uttrycker arean som . I ett sådant fall blir den tidigare ungefärliga volymen perfekt och ges av den dubbelintegralen:

När vi utvärderar denna integral måste vi dissekera regionen i förhållanden på och . Här är det till vår fördel att vi kan välja att summera radvis eller kolumnvis först som vi vill.

Detta motsvarar att utvärdera dem med avseende på eller först. Det enda vi behöver akta oss för är att integrationsgränser måste uttryckas som funktioner av den yttre variabeln.

De yttre gränsvärden är helt enkelt start- och slutvärden, precis som vid vanlig integration.

Beräkna följande integral:

Notera på bilden att linjen som begränsar området kan uttryckas antingen som som ger en övre begränsning för , eller som ger en undre begränsning för . Hur vi väljer att se det beror på vilken integral vi sätter som den inre.

I det här fallet blir det mycket lättare att lösa om vi ändrar integrationsriktningen enligt följande:

Genom att variabelbyten får vi:

som vi kan utvärdera till:

Egenskaper för enkla integraler gäller i allmänhet även för dubbelintegralen , som det faktum att vi kan dela upp integrationsregionen i två underregioner och utföra integralen bitvis:

där

En annan egenskap hos dubbelintegralen är att:

där är området för definitionsmängden . Detta beror på att volymen den beräknar är en cylinder med bas och höjd .

Precis som i fallet med envariabelanalys kan generaliserade dubbelintegraler uppstå om antingen definitionsmängd är obegränsad eller integranden är obegränsad på randen för eller inuti definitionsmängd.

Det som är nytt här är att vi har de två itererade integralerna att utvärdera. I motsats till dubbelintegralen som inte är generaliserade, kanske vi inte bara vänder på integrationsordningen. Att göra det kan ge upphov till motstridiga resultat.

Vi måste också vara försiktiga med integrander som byter tecken inom integrationsområdet. Vi får se hur vi ska hantera detta snart. För närvarande antar vi att integranden är positiv på hela definitionsmängd.

En generaliserad integral kan antingen konvergera till ett värde eller vara divergent.

Antag att den inre dubbelintegral, säg, med avseende på y, konvergerar för alla fasta . Då är dubbelintegralen konvergent om och endast om den yttre integralen med avseende på är konvergent.

Om integralen inte är konvergent säger vi att den är divergent.

Vi kan beräkna generaliserade integraler analytiskt, som vi kommer att se i de två exemplen i slutet av denna not.

Om vi bara är intresserade av konvergens kan vi också använda jämförelse för att avgöra om en integral konvergerar eller inte. Du kanske känner igen detta från envariabelanalys.

Vi kallar integrationsområdet , om följande kriterium är uppfyllt:

sedan integralen:

kommer att konvergera.

Siffran kan vara vilket tal som helst för att kriteriet ska fungera.

De regler och metoder som vi hittills har nämnt om generaliserade integraler fungerar bara om integranden har samma tecken på definitionsmängden som helhet. Anledningen till detta är relaterad till oändlighetsbegreppet, som måste behandlas med försiktighet. Negativa och positiva oändligheter kan tyckas ta bort varandra, men det är inte så det fungerar.

Om integranden är negativ på delar av definitionsmängden delar vi upp den i två:

och:

Båda dessa funktioner är positiva, och:

Integralen av är konvergent om och endast om integralerna av och konvergerar. Om integralen av konvergerar har den värdet:

Utvärdera integralen:

där beskrivs av:

Definitionsmängden för visas i bilden nedan:

Integralen är en generaliserad integral eftersom vi integrerar över en obegränsad definitionsmängd. Vi börjar med att integrera med avseende på :

Bilden nedan visar integrandens utseende.

Utvärdera integralen:

där beskrivs av:

Bilden nedan visar definitionsmängden :

Integralen är en generaliserad integral eftersom integranden inte är definierad när . Vi börjar med att integrera med avseende på :

Vi kan se att denna integral divergerar för alla , eftersom inte är definierad. Således är integralen divergent. Bilden nedan visar integrandens utseende.

När vi motiverade det godtyckliga valet av inre och yttre integraler i en dubbelintegral använde vi analogin med att måla ett staket med vertikala eller horisontella drag beroende på det specifika staketet.

Nu för vissa staket är det mest effektiva sättet att måla dem att kasta bort penseln och plocka upp rullen istället. När det gäller integration motsvarar rullen att använda polära koordinater som variabler.

Inför en dubbelintegral vars region avgränsas av en cirkel centrerad kring origo, är integrationsgränserna uttryckta i termer av och ganska komplicerade, medan i termer av och de blir triviala.

sträcker sig helt enkelt från till radien för cirkeln, och från till .

Vad vi måste vara medvetna om när vi arbetar med polära koordinater är att har en faktor på inbyggd. Det uppstår från båglängden , som vi tar för att vara sidan av ett ungefär rektangulärt område , med som sin andra sida:

Den Dubbelintegralen i polära koordinater är då:

Vi kommer att beräkna:

använda Kartesiska koordinater och polära koordinater för att visa fördelarna med att ändra variabler. Vi börjar med Kartesiska koordinater.

Gränserna för integration kommer att vara:

Vi väljer att integrera med avseende på först:

Låt oss nu beräkna denna integral med polära koordinater.

Vi låter:

Detta ger följande gränser för integrationer:

Integralen blir då:

Det viktigaste här är att om definitionsmängden där vi integrerar över är axiellt symmetrisk (beskrivs till exempel av en cirkel), så bör vi integrera med polära koordinater.

Följande är ett viktigt resultat i matematik och det kan visas genom att använda integration med polära koordinater:

Låt vara den gneraliserade integralen, då:

Således:

I det här avsnittet kommer vi att återgå till den Jacobis matrisen och dess bestämningsfaktor för att se hur dessa begrepp kan användas i praktiken för att hjälpa oss att utföra integration.

Som det visar sig är integrering med polära koordinater bara ett specialfall av en förändring av variabler i integrationen .

En sådan förändring är alltid kopplad till en Jacobis matris, oavsett om vi använder den för att göra ersättningen eller inte.

Vid ändring till polära koordinater ser det ut som följer:

När vi utför en integration med polära koordinater, plockar upp en faktor på . Detta visades intuitivt med hjälp av formeln för området med en sida som en båge med längden .

Alternativt kan vi motivera uppkomsten av denna faktor genom att komma ihåg att determinanten för en matris är skalningsfaktorn för en linjär transformation.

Jacobis determinanten för transformationen mellan koordinatsystem (vilket är när man går från kartesiska till polära koordinater) är det som står för den extra faktorn i integralen.

Här ska vi integrera följande uttryck:

Där är regionen som definieras av:

För att integrera ovanstående är det mycket lättare att använda polära koordinater. Först påminner vi oss själva om att:

vi vet också att:

Sedan finner vi att och sedan .
Därefter måste vi beräkna determinanten för Jacobi-matrisen,

Därefter noterar vi att:

och därför finner vi att:

Om koordinatsystemet vi vill ändra våra variabler till inte är de polära koordinaterna, utan har några andra variabler och , blir skalfaktorn inte densamma.

Istället måste vi hitta Jacobis determinanten för den specifika Jacobis matris som motsvarar denna variabeländring:

Låt oss se vad detta betyder i praktiken:

Hitta området för regionen i figuren nedan.

Arean av ges av integralen:

Problemet blir lättare om vi byter variabler till:

Gränserna för integration ges av figuren. Observera att:

Integralen ges då av:

där vi har:

berättar hur mycket området förändras i denna koordinattransformation. Lägg märke till hur vi inte har uttryckt och som funktioner av och , så det blir lite knepigt att beräkna .

Däremot kan vi använda följande diaboliska trick för att beräkna .

Utgående från -koordinatsystemet kommer vi att skala vårt område med en faktor . Om vi går tillbaka från -koordinatsystemet till , skalar vi vårt område med en faktor .

Men sedan vi återvände till där vi började har vårt område faktiskt inte förändrats! Detta innebär att:

Således kan vi beräkna till .

Slutligen kan vi beräkna integralen: