Extremvärden

Extrema, eller extrema punkter, i flervariabelanalys liknar dem i envariabelanalys, förutom att de är ännu snyggare. Åtminstone om vi inte går längre än . Om vi lägger till fler dimensioner börjar de bli riktigt svåra att visualisera alls, så vi stannar i två variabler för det mesta av detta ämne.

Teorin sträcker sig till högre dimensioner, och i vissa fall gör de tekniker vi kommer att visa också. Tyvärr visar det sig dock att undersöka extrema vara lite mer komplicerat i flera variabler än i en.

Det finns tre typer av extrema. En punkt i definitionsmängden för är ett extrema om och endast om:

Vi kommer att se mer av alla dessa tre typer i de kommande föreläsningsanteckningarna. Och en liten påminnelse: glöm inte att kontrollera randen när du letar efter extrema. Det är ett klassiskt men onödigt misstag.

När vi klassificerar kritiska punkter talar vi om lokala och globala min- och maxpoäng, som i en envariabelanalys.

Funktionen har ett lokalt maximum vid i definitionsmängden , om för alla punkter i definitionsmängden som är tillräckligt nära . Om ojämlikheten gäller för alla punkter i definitionsmängden , så är det ett globalt maximum.

Grafen nedan har ett globalt maximum vid punkten och ett lokalt maximum vid :

Lokala och globala minima definieras på samma sätt, bara att byta till i definitionen.

Har alla funktioner extrema? Nej. Det finns några krav som måste uppfyllas.

Tillräckliga villkor för existensen av ett maximi- och minimivärde för en funktion är:

Då kommer intervallet också att vara en begränsad mängd , och det finns punkter i definitionsmängden för vilka kommer att ha globala max- och minvärden.

Dessa krav är ganska naturliga. Försök att komma på motexempel för vart och ett av dem, där det globala max eller min skulle vara odefinierat.

Ett tips till den första; vad händer runt om ?

Singulära punkter är punkter där gradienten inte är definierad. Dessa kan vara punkter där är diskontinuerlig, som här:

Detta är funktionen . När det gäller diskontinuerliga funktioner kan det, som vi nämnt tidigare, vara att funktionen inte har ett globalt max eller min.

Specifikt går funktionen ovan till oändlighet eftersom går till . Så det finns inget globalt maximum.

Singulära punkter kan också vara punkter där inte är differentierbar. Ett exempel är den nedre delen av konen som består av

Eftersom vi inte kan ta partiella derivatorna där, måste vi kontrollera funktionsvärdet vid denna punkt separat för att avgöra om det är ett lokalt eller globalt max eller min.

För en funktion finns de kritiska punkterna i tre versioner: maxima, minima och sadelpunkter. En punkt är en kritisk punkt om:

Detta betyder att båda partiella derivator måste vara noll vid .

Vid en kritisk punkt är tangentplanet horisontellt. Detta gäller för maxima:

... och för ett minimum:

Det gäller även sadelpunkter. Denna typ av kritiska punkt är något lösare definierad; i grund och botten är allt som varken är maximalt eller minimum men ändå har en nollgradient en sadelpunkt.

Nedan visas den typiska sadelpunkt till höger, tillsammans med ett mer tveksamt exempel till vänster, som faktiskt har en oändlig rad av sadelpunkter.

Om vi vill veta var de kritiska punkterna för är, är vi ofta inte nöjda innan vi också har bestämt vilken typ av kritisk punkt vi har hittat. Det är trots allt stor skillnad på att veta att vi har ett berg att bestiga eller en dal att promenera ner i.

Det finns olika sätt att göra klassificeringen. En är att gå tillväga enligt följande: med att veta att funktionen har en kritisk punkt vid , studera funktionsskillnaden:

När vi tar ett litet steg bort från punkten, ökar eller minskar funktionen?

Om är positivt för alla ökar funktionen i alla riktningar runt punkten, och vi har att göra med ett minimum. Om är negativ, minskar i alla riktningar, och punkten måste vara ett maximum. Om funktionen minskar i vissa riktningar och ökar i andra, står vi ansikte mot ansikte med en sadelpunkt.

Denna metod är brute force, och om funktionen inte är trevlig kan det vara svårt att utan tvekan dra slutsatsen att det vi har hittat inte är en sadelpunkt.

Klassificera den kritiska punkten i för funktionen:

Vi börjar med att hitta :

eftersom kan vara både negativt eller positivt för olika värden på och , är en sadelpunkt.

Om vi inte frestas av tanken på att analysera funktionsbeteendet i alla riktningar runt någon punkt, är vår frälsare det andraderivatan .

Liksom i en envariabelanalys tecknet på andraderivatan av en funktion vilken krökning funktionen har. Men eftersom det finns flera andraderivator är krökning svårare att läsa.

I två variabler ger det andraderivatan oss svaret. För att förstå det, och beräkna krökning i högre dimensioner, behöver vi någon seriös linjär algebra för att hjälpa oss.

Idag nöjer vi oss med att ange formeln för det tidigare nämnda andraderivata . Med tanke på alla andra partiella derivator av en funktion , koppla in dem i följande formel:

Säg nu att har en kritisk punkt vid . Beräkna . Om:

Följande föreläsningsanteckning är starkt beroende av begrepp från linjär algebra, så hoppa över den om du inte är bekväm med den. Med detta sagt kommer vi här att bygga en bro mellan matematisk analys och linjär algebra som kan vara användbar både praktiskt och för att hjälpa din förståelse.

Kom ihåg det andraderivatan från föregående föreläsningsanteckning. Här undersökte vi tecknet för följande funktion för att klassificera kritiska punkter:

Det är ingen slump att vi använder bokstaven för att beteckna denna funktion. Anledningen är att det står för en determinant . I synnerhet den av en matris som kallas den hessiska matrisen .

Determinanten för en -matris ges av:

Låt oss nu se vad som händer när vi infogar de andra partiella derivator av funktionen som elementen i en matris på detta sätt:

Det vi får är den hessiska matrisen för en funktion i två variabler. Om vi antar att alla andra partiella derivator är kontinuerliga har vi följande:

så att determinanten blir:

Därför är det vi använde som vår funktion för att klassificera kritiska punkter för en funktion i en punkt enligt det andraderivatan determinanten av den hessiska matrisen vid .

Anledningen till att denna teknik fungerar är att den hessiska matrisen, med dess element som alla andra partiella derivator, innehåller all nödvändig information för uppgiften, vilket är funktionens krökning i de olika riktningarna.

Detta kan vara användbart inte bara för att klassificera kritiska punkter, utan för att undersöka krökning vid någon annan punkt också. Till exempel när man skissar en yta i 3D.

Den hessiska matrisen finns för två gånger differentierbara funktioner av valfritt antal av variabler, med ser det ut som följer:

Nu kan den hessiska matrisen användas för att klassificera kritiska punkter i vilken dimension som helst, men det är inte fullt så enkelt som att titta på determinanten. Istället har vi följande:

Minns från linjär algebra att en matris är