Partiella derivator

I en envariabelanalys är derivatan vid en punkt lutningen på en graf vid den punkten. I flervariabelanalys har vi funktioner beroende på flera variabler. Derivatan av en sådan funktion görs en variabel i taget.

Det betyder att den partiella derivatan är lutningen i en riktning, längs en av axlarna.

Om vi till exempel har en funktion så partiella derivatan med avseende på ses som lutningen av ett tvärsnitt av grafen parallellt med -axeln .

Alla standarddifferentieringsregler gäller för partiella derivatorna.

Att ta derivatan en variabel i taget motsvarar att behandla de andra variablerna som konstanter. För en funktion av två variabler har vi alltså:

Du kanske har märkt ovan att vi är vana vid har ändrat form. står för partial och vi kommer att gå mer in på denna lilla krulliga karaktär när vi pratar om nablaräkningen i en senare föreläsningsanteckning.

För nu räcker det med att säga att betyder den partiella derivatan av med avseende på .

Givet en funktion:

Om vi vill hitta , differentiera vi helt enkelt med avseende på och betraktar variabeln som en konstant:

På samma sätt, om vi vill hitta , differentiera vi med avseende på och betraktar som en konstant:

Det finns ett par olika vanliga notationer för partiella derivator. För en funktion av två variabler är dessa ekvivalenta:

I de fall funktionen beror på fler än tre variabler lämnar vi oftast och bakom oss och går för .

Den Partiella derivatan av en sådan funktion har partiella derivator:

där .

För en funktion i en variabel , med en derivata , kan vi fortsätta att differentiera för att erhålla derivatorna och tredjederivator och .

På samma sätt kan vi fortsätta att differentiera och . Precis som är de första ordningens partiella derivatorna funktioner av två variabler, så vi differentiera dem åt med avseende på och separat.

Följande exempel visar de vanligaste sätten att beteckna en andra partiell derivata av . Den här tagen först med avseende på och sedan med avseende på :

Följaktligen kommer en funktion i två variabler att ha fyra andra partiella derivator, vilket är resultatet av differentiering av de två första ordningens partiella derivator:

Vi kommer inte att gå igenom den analys som behövs för att bevisa det, men om de två blandade partiella derivator och är kontinuerliga i en punkt ) , de kommer att vara lika med varandra där:

Det betyder att vi i allmänhet bara behöver beräkna en av dem, vilket förenklar saker och ting. Ibland är det ena eller det andra lättare att få tag på, och vi kan välja att bara beräkna det.

Visa att båda de blandade andra partiella derivator är desamma för funktionen:

Differentiering först med avseende på , sedan :

Differentiering först med avseende på , sedan :

Partiella derivator sträcker sig till funktioner av valfritt antal variabler, , och så länge de partiella derivatorna är differentierbara funktioner kan vi fortsätta att differentiera dem hur många gånger vi vill.

Det totala antalet partiella derivator vi får i th differentieringen, från alla kombinationer av variabler, ges då av .

Tillbaka i beräkning av en envariabelanalys introducerade vi idén om tangenter. Tangenten för en funktion var linjen med samma lutning som funktionen. Den knuffade till funktionsgrafen och rörde vid den utan att riktigt skära den.

Det är lite som om tangenten var förälskad i funktionen, men inte vågade hålla sig för nära för länge. Tangenten användes ofta för att approximera funktionen nära en given punkt.

I flervariabelanalys kommer vi att lära känna enhetens tangent, . Vi antar att du känner till kurvor vid det här laget. Så låt oss säga att vi har en kurva som beskriver positionen för en drönare som en funktion av tiden, .

Låt oss nu ta derivatan av . Eftersom är en vektor, är derivatan också en vektor: tangentvektor .

Enhetstangensen är bara derivatan, dividerat med längden på den vektorn:

Vad händer nu om vi har en parametrisk yta? Ytan kan parametriseras av två variabler:

En yta har två enhetstangenter, som visas på bilden nedan. Deras riktningar ges av partiella derivatorna med avseende på och till . Varje tangent berör ytan och pekar i riktningen för de linjer som motsvarar konstanta - eller -värden.

Genom att normalisera tangenterna får vi enhetens tangenter för ytan:

Ett av sätten att multiplicera två vektorer är genom kryssprodukt . Resultatet blir en annan vektor, som är vinkelrät mot båda de multiplicerade.

Kom ihåg att tangentvektorer är inriktade med den parametriska ytan i en punkt. Om vi tar kryssprodukten av två olika tangentvektorer kommer den resulterande vektorn därför att peka vinkelrätt bort från ytan.

Detta är precis vad det betyder att är en normalvektor vid punkten.

I har vi inga ytor, utan snarare kurvor med bara en distinkt tangentlinje. Men vi kan fortfarande tala om normalvektorer, som då alltid är vinkelräta mot den ena tangentlinjen i en punkt.

Om vi delar en normalvektor med dess norm står vi kvar med : Enhetens normalvektor till ytan vid den punkten.

Det enklaste sättet att hitta normalvektor till en yta , är att ta kryssprodukten av de två tangenterna som hittas med hjälp av partiella derivatorna av med avseende på till respektive . Att dividera denna kryssprodukt med dess storlek ger normalvektor.

Vi kommer att konstruera ekvationen för tangentplanet genom att använda två tangentvektorer i planet och en punkt. Men först, en blick tillbaka på tangentlinjer i en envariabelanalys.

Kom ihåg hur vi definierade tangentlinjen för punkten i en envariabelanalys:

Precis vid den punkten har vi , så den andra termen försvinner och vi får . När vi vidare tar ett steg bort från punkten längs tangentlinjen, är tangentens lutning derivatan av vid .

Vi konstruerar ett tangentplan för funktionen vid med samma kriterier som för tangentlinjen . Det vill säga, vi vill att planet ska röra vid punkten och att dess lutning ska vara densamma som funktionsytan vid punkten.

För att konstruera tangentplanet introducerar vi två tangentvektorer.

Från definitionen av partiella derivator är lutningen på funktionsytan i -riktningen den partiella derivatan med avseende på vid punkten. Lutningen i -riktningen ges analogt.

Alltså vektorn:

är parallell med tangentlinjen i -riktningen i punkten . På samma sätt, vektorn:

är parallell med tangentlinjen i -riktningen vid samma punkt.

Vi kan använda dessa två vektorer för att hitta ekvationen för hela tangentplanet, eftersom en punkt och en normalvektor är allt vi behöver för att göra ett plan. Och normalvektorn kan erhållas genom att korsa två icke-parallella vektorer som ligger i planet.

Bekvämt är det faktiskt tillräckligt att de är parallella med planet, som och . Vi konstruerar normalvektorn genom att kryssprodukten med dessa två:

Planet som beskrivs av och punkten byggs upp av alla vektorerna för vilka:

Detta är ekvationen för planet i vektorform.

Vilken vektor som helst i planet kan skrivas som , där är en vektor från origo till valfri punkt i planet.

Således,

Så ekvationen för planet ovan ger oss:

Genom att flytta över till vänster sida får vi ekvationen för tangentplanet i skalär form:

Jämför ekvationen med den för tangentlinjen: de är slående lika. Lägg märke till att om du kopplar in punkten får vi . Vidare beskriver de två lutningarna lutningen på funktionsytan exakt vid punkten.

Matematik är inte alltid bara regnbågar och enhörningar. Det finns några ämnen som är ganska tråkiga, men som du ändå måste lära dig. Det är bara så det är. Rosor är röda, violer är blå - vissa saker är inte roliga, men du måste driva igenom. Men det faktum att matematiker fortfarande inte kommer att avstå från dessa tråkiga delar visar bara hur viktiga de är.

Tillbaka i en envariabelanalys lärde du dig en handfull differentieringsregler: reglerna för summor, produkter och kvoter. I flervariabelanalys är du fri att använda samma regler när du beräknar partiella derivator. Ganska vettigt, eller hur?

Sedan finns det den här andra regeln, den multivariabla kedjeregeln. Du kan använda det när du stöter på en funktion som . Låt oss här anta är och är . Sedan, om vi betecknar komponenterna i som och , får du: