Intro
Så du är inne på ett parti schack? Okej, du börjar. Du spenderar ganska mycket tid på att tänka på ditt första drag. Men så småningom flyttar du din riddare till...
Hur ska du beskriva den positionen? Jag menar, det är lite besvärligt att säga: "Jag flyttar min vänstra riddare två steg framåt och ett steg åt höger". Din vänster eller min vänstra? Och ska jag anta att "framåt" är din "framåt"?
Istället kan du uttrycka ditt drag i termer av koordinater.
Koordinater används i stort sett överallt. Till exempel, när din GPS informerar dig om din position, är det i huvudsak att ta ett gäng koordinater och översätta dem till "du är 100 meter från McDonald's vid hörnet". Häftigt, eller hur?
Koncept
Koordinater tillåter oss att uttrycka positioner. De berättar vilken punkt i utrymmet vi refererar till.
Och det här är superhändigt. Istället för att säga "flytta till vänster - nej, inte så mycket! - bara en liten bit", säg något i stil med "flytta till position ". Det räcker.
Men en position får inte hänvisa till en faktisk position. Till exempel kan matematiker låta -axeln representera tid och -axeln representera genomsnittlig aktieavkastning. Då är din position, om du får kalla det som sådan, den genomsnittliga aktieavkastningen efter en given tid.
Summering
Kartesiska koordinater är det koordinatsystem vi oftast använder och det definieras med och . Det finns andra koordinatsystem som är lika giltiga, till exempel de polära koordinaterna och .
I det polära koordinatsystemet definierar vi istället varje punkt som ett avstånd från origo. Vi har också att definieras som vinkeln som punkten har relativt -axeln.
Vi kan också definiera och med och
Transformation mellan koordinatsystem
Koordinatsystem används för att beskriva punkternas placering i rummet. För att göra det måste de definiera några positionsmått i systemet.
Vi behöver alltid lika många mått, så kallade koordinater, som det finns dimensioner i rummet.
Koordinater i 2D
Det mest klassiska exemplet är det kartesiska koordinatsystemet i 2 dimensioner, bildat av axlarna och som vi är vana vid. I detta system betecknar vi en punkt som , som beskriver dess förskjutningslängd från origo i båda axlarnas riktningar.
Men är detta det enda val vi har för ett koordinatsystem i 2D? Absolut inte.
Titta på systemet nedan med axlarna och , och jämför med det kartesiska. Båda kan beskriva punkter i samma utrymme, och användningen av och är helt enkelt en konvention.
Faktum är att vi enkelt kan byta mellan de två och konvertera representationen i ett koordinatsystem till ett annat genom en koordinattransformation .
Betrakta punkten i det kartesiska koordinatsystemet. Om vi definierar transformationen från - till -koordinater som:
då kan vi se att det blir efter transformationen. Punkten är fortfarande på exakt samma plats, den är bara representerad i ett annat koordinatsystem.
Anledningen till att vi vill kunna representera en punkt annorlunda är för att det ibland är bekvämare att använda den ena framför den andra.
Koordinater i 3D
Om valet av koordinataxlar är tvetydigt, hur har vi då beslutat att utöka det kartesiska koordinatsystemet från 2 dimensioner till 3?
Även om det inte är nödvändigt vill vi i allmänhet att axlarna ska vara vinkelräta mot varandra. Observera dock att det finns två motsatta alternativ för att -axeln ska vara vinkelrät mot både - och -axeln. Enligt konvention vänder vi oss därför till högerhandsregeln :
Högerhandsregeln
Använd din högra hand och låt ditt pekfinger peka i riktning mot -axeln och ditt långfinger i riktning mot -axeln.
Sedan definieras riktningen för -axeln i det kartesiska koordinatsystemet med 3 dimensioner som den som din tumme pekar på.
Precis som för koordinatsystem i 2D kan vi definiera ett annat och transformera punkter mellan dem som vi vill.
Cylindriska koordinater
Polära koordinater
Som ett alternativ till Kartesiska koordinater med avstånd längs - respektive -axeln, kan vi använda polära koordinater för att representera en punkt i två dimensioner.
Denna form använder bara ett avstånd från origo, samt en vinkel , mätt i moturs riktning från den positiva -axeln. Därför skrivs en punkt i polär form som .
Koordinattransformationen från kartesiska till polära koordinater ser ut som följer:
Cylindriska koordinater
Om vi utrustar det polära koordinatsystemet med en -axel får vi ett koordinatsystem i 3 dimensioner som kallas cylindriska koordinater .
Cylindriska koordinater är polära koordinater med en -axel
Som vanligt använder vi vår högra hand för att definiera riktningsförhållandena i koordinatsystemet:
Den Högerhandsregeln för rotationsriktning:
Använd höger hand och låt tummen peka i riktning mot -axeln och böj fingrarna.
Sedan, om du vrider handen i den riktning som fingrarna pekar, kommer detta att definiera rotationsriktningen för vinkeln .
För att visualisera hur cylindriska koordinater kan se ut i praktiken, föreställ dig en bil som kör uppför en cirkulär ramp i ett parkeringsgarage. Bilens position, taget från mitten av rampen som origo, kan beskrivas med hjälp av rampens radie, den aktuella vinkeln till någon definierad horisontell riktning (den vanliga -axeln), och höjden som ges av -axeln.
Detta exempel belyser ett av fördelarna med cylindriska koordinater. Eftersom radien förblir oförändrad under körningen uppför rampen, är vinkeln och höjden de enda som ändras i detta fall.
En punkt uttryckt i cylindriska koordinater har formen , och koordinattransformationen från det kartesiska koordinatsystemet i 3 dimensioner ser ut som följer:
Från dessa formler kan vi härleda en mängd ekvationer för att konvertera koordinater åt andra hållet också:
Sfäriska koordinater
För att beskriva positioner på sfäriska ytor, som jordytan, kan du använda sfäriska koordinater. Det skulle ha varit ganska besvärligt att räkna ut din position i vanliga -koordinater. Sfäriska koordinater är skräddarsydda för denna typ av problem.
Med tanke på en radie , använd:
Se bilden nedan.
Normalt säger vi och . Om så är fallet, så finns det bara en mängd koordinater som motsvarar en given position. Men vi skulle, som vi ska se längre fram, kunna låta och vara vilket reellt tal som helst.
Här är en heads up. När vi anger sfäriska koordinater är ordningen och viktig.
