Vektoranalys

För att måla hela bilden av förändringshastigheten för en skalär funktion av flera variabler, vände vi oss till gradienten och bildade en vektor av s partiella derivator.

Nu med samma mål, men för en vektorvärderad funktion , är tillvägagångssättet vi tar lite annorlunda.

En funktion har formen

och har därför första ordningens partiella derivator.

Dessa hanteras genom att handplocka och gruppera de som är mer intressanta i två olika begrepp: divergens och rotation .

Denna föreläsningsanteckning ägnas åt divergens, och behandlar endast dessa tre partiella derivator:

De ger ett mått på hur starkt ett fält intensifieras eller dämpas vid varje punkt, det vill säga hur inflödet och utflödet skiljer sig åt vid punkten.

En källa ger tillbaka mer fältstyrka än den tar in, och skillnaden där är positiv.

I motsats till en källa, sväljer en sänka mer av fältstyrkan än den spottar ut, vilket indikeras av en negativ divergens.

Om divergensen är noll, flödar lika mycket in och ut vid punkten.

Så, hur går vi tillväga för att hitta avvikelsen?

För att extrahera de tre partiella derivator:

vi använder två koncept vi har sett tidigare: nablaräkning och skalärprodukten:

I mer detalj:

Observera att resultatet är en skalär funktion som ger divergensen av vid varje punkt i fältet.

Hitta divergensen vid origo i följande vektorfält:

Med hjälp av formeln för divergens får vi:

och utvärdera vid origo :

När du tar ditt kvällsbad tänder du vanligtvis doftljus och lyssnar på klassisk musik. Du börjar röra din hand i en cirkulär rörelse, som om du dirigerade orkestern. Och sedan - titta! - Det är en virvel på ytan. Om du skulle rita ett vektorfält skulle du få något sånt här:

Vattnet verkar virvla runt en punkt. Eftersom det snurrar medurs, säger vi att vektorfältet har negativ rotation vid den punkten.

Om det däremot skulle finnas en ström i badkaret, kan ditt vektorfält se ut så här:

Här är rotation . Det pågår inget virvlande. Bara en normalvektor ström.

Begreppet rotation sträcker sig även till 3D; det är bara det att vi använder en vektor. Vektorn pekar i riktning mot din tumme när du rotation fingrarna på din högra hand och sticker ut tummen. Storleken anger hur mycket vattnet virvlar.

Rotationen för ett vektorfält skrivs och beräknas enligt följande:

Om vektorfältet är i , , kan vi fortfarande beräkna dess rotation med samma formel. Låt bara . Detta ger den betydligt mer koncisa rotation:

Hitta rotationen vid punkten i följande vektorfält:

med formeln för rotation får vi:

utvärdera till , ger oss:

Eftersom gradienten för ett skalärfält är ett vektorfält, har vi att alla vektorfält är gradienter av något skalärfält?

Svaret är nej! Endast konservativa vektorfält är, vilket resulterar i att de har vissa speciella egenskaper.

Först och främst har gradienter ingen rotation. Så ett konservativt vektorfält är irroterande :

Detta betyder att i 2D:

I 3D gäller ytterligare två villkor:

Som en konsekvens är linjeintegraler över vektorfält som är konservativa banoberoende .

Med andra ord, vilken kurva vi än integrerar över, givet någon specifik start- och slutpunkt, kommer integralen alltid att utvärderas till samma värde.

Detta innebär att integralen helt bestäms av enbart start- och slutpunkterna. Det betyder vidare att om vi integrerar konservativa vektorfält över slutna slingor, är det som om vi inte integrerade alls:

Ett exempel på ett konservativt vektorfält är jordens gravitation som, som vi kommer att se i följande exempel, därför är vägoberoende.

Nära jordens yta är gravitationsaccelerationen ungefär konstant på cirka . Den pekar mot jordens centrum, men i en tillräckligt liten region kan vi föreställa oss att den pekar rakt nedåt. Låt därför:

vara gravitationsaccelerationens fält. Hur mycket energi behövs nu för att transportera någon som väger kg upp till toppen av en rutschkana vid punkten , från startpositionen vid ?

Kraft erhålls genom att multiplicera massa och acceleration, och så kraftfältet som jordens gravitation hävdar på personen blir:

En linjeintegral över vektorfältet ger sedan förändringen i energi när vi rör oss längs någon väg.

För att markera det faktum att varje motsvarande linjeintegral är oberoende av vägen kommer vi att överväga två fall.

Först kan personen gå uppför några trappor, i vilket fall vägen liknar linjen som ges av: .

För det andra finns det en hiss som går rakt upp till punkten , där personen sedan måste gå horisontellt nerför en plattform för att nå punkten.

Fall 1

Vi parametriserar vägen genom att låta:

som ger oss:

och integralen blir:

Fall 2

Denna väg är bitvis parametriserad som:

Det betyder att vi har:

Linjeintegralen utvärderas sedan till:

Det faktum att integralerna är negativa här betyder att integralen går emot vektorfältet. Således måste energin på joule tillföras från någon yttre kraft. Här tillhandahålls det av personen själv och hissen.

Begreppen energiförändringar och hur det relaterar till linjeintegralens tecken kommer förhoppningsvis att bli tydligare i nästa avsnitt, där vi diskuterar skalärpotentialen .

Vi introducerade konservativa vektorfält genom att påpeka att de alla är gradienter av ett skalärfält. Det Skalärfältet i fråga kallas det konservativa vektorfältets skalära potential .

För att se vad detta betyder i praktiken, låt oss återgå till personen som tar sig upp till toppen av rutschkanan.

Det Skalärfältet , varav kraftfältet är gradienten, ger den potentiella energin vid varje punkt jämfört med någon referenspunkt.

Låt oss för enkelhetens skull säga att denna referenspunkt är . Det Skalärfältet ger sedan ett mått på hur mycket energi du får när du glider tillbaka till från punkten .

Detta är exakt vad linjeintegralen över vektorfältet beräknar. Som vi sa tidigare är denna linjeintegral vägoberoende.

Att utvärdera en linjeintegral över ett vektorfält är lätt om vi känner till den skalära potentialfunktionen .

Men om detta inte ges till oss, hur ska vi gå till väga för att hitta det?


Vi vet per definition att:

Vad vi nu kan göra är att först integrera med avseende på . Integrationskonstanten kan då bero på och , men inte .

Därefter differentiera vi med avseende på , som måste vara lika med :

Från detta har vi:

vilket innebär att:

Vi har nu:

Om vi då tar:

och vi ordnar om uttrycket, varefter vi integrerar med avseende på får vi:

Därför kommer den skalära potentialen i sin fullständiga och slutliga form att vara:

Det kräver lite arbete, men vi kan bestämma den skalära potentialfunktionen exakt, bortsett från en viss konstant .

Detta är dock bra, för när vi använder den skalära potentialen för att utvärdera linjeintegraler av dess gradient , kommer att ta bort.

Skalär potential handlar trots allt om skillnader mellan punkter i fältet, och inte så mycket om de faktiska värdena där.

Så låt oss säga att du har en vektor, .

Och nu vill du hitta vilken vektor som helst, när den korsas med , ger . Den vektorn är vektorpotentialen.

Åh, och förresten, vektorpotentialen är godtycklig. Om du är besatt av talet kan du lika gärna lägga till till varje term i vektorpotentialen. Och här är ett roligt faktum: om du skulle ta skillnaden mellan , skulle det vara .

Men varför bry sig om vektorpotentialer? De används i stor utsträckning inom elektromagnetism och vätskedynamik, och de kan avsevärt förenkla våra beräkningar (vilket alltid är bra). Så ja, det är värt att lära sig om vektorpotentialer.

Bara för att slå fast poängen, låt oss göra lite fysik. Så anta att du har en ström och ett magnetfält . Då representerar de vita pilarna vektorpotentialen.

Vi kan hitta många olika vektorpotentialer för ett vektorfält som har en vektorpotential.

Nedan visar vi att de två vektorfälten och ger upphov till samma vektorfält och därför är båda vektorpotentialer till .

Om vi beräknar rotationen för de två vektorfälten finner vi att:

Utan att bevisa dem ger vi här en användbar mängd likheter att använda när du löser problem med matematisk analys .

I följande ekvationer är och skalärfältet medan och är vektorfält, inga av dem relaterade till varandra på något speciellt sätt, och var och en har kontinuerliga partiella derivator.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.