Intro
Funktioner beskriver förhållandet mellan entiteter och är extremt användbara för att förklara kausaliteten för en storhet till en annan.
Nu kräver vissa kvantiteter en mängd siffror för att representeras korrekt. Dessa är kända som vektorkvantiteter och förekommer överallt.
Genom att kombinera dessa två mycket viktiga begrepp är det vi får vektorvärderade funktioner , som inte så överraskande är avgörande för att vi ska förstå och påverka världen vi lever i.
Till exempel, magnetism beter sig enligt vektorvärderade funktioner, och därför behövs konceptet för att studera naturliga händelser som norrsken. Förståelsen och tämjandet av dessa funktioner har gett oss, bland annat, magnetisk resonanstomografi, ett revolutionerande verktyg för medicinsk diagnos.
Koncept
En satellits omloppsbana runt jorden är en vektorvärd funktion, eftersom positionen för satelliten beskrivs med hjälp av en vektor med 3 komponenter
En vektorvärd funktion kan ha olika mängd indata . För vår satellit beror positionen endast på en enda variabel .
Summering
Positionen i planen vid tidpunkten kan skrivas som:
och att ta derivatan av varje komponent ger vektorn för hastighet:
att sedan ta derivatan igen ger vektorn för acceleration:
Vektorvärda funktioner
I 2D
En vektorvärderad funktion:
är en funktion som tar en variabel och omvandlar den på två variabler.
Det är inte så illa som det ser ut. Låt oss dela upp det med ett exempel: föreställ dig en bil. När man kör över ett stort, plant fält på en slingrande väg kan dess position beskrivas med en ortsvektor .
Positionen och därmed båda variablerna beror på tiden , så vi får .
Medan vi funderar över detta monumentala faktum introducerar vi lite notation. Kom ihåg att enhetsvektorerna i riktningarna , respektive kan skrivas som , och . Andra ganska vanliga notationer är , och , eller , och .
Alla dessa är alltså desamma och representerar positionen som en funktion av tidsvariabeln :
Funktionen som gör omvandlingen beskrivs vanligtvis med en läcker liten pil:
Det betyder bara att det tar som indata och returnerar koordinaterna som en funktion av .
I 3D och vidare
Vår lilla bil lämnar fältet bakom sig och kryper uppför en kulle i utkanten av en bergskedja. Vi kräver en tredje koordinat för nivån över havet, så vi tar nästa: .
Liksom och beror på tiden. Så nu har vi en funktion:
Detta generaliserar till högre dimensioner. Föreställ dig bilen som färdas i det -dimensionella utrymmet . Okej, vi kanske måste släppa bilen vid det här laget. Ändå finns det funktioner som denna:
För enkelhets skull släpper vi här , , och så vidare och hänvisar till alla koordinater som med .
Som ni kanske minns används denna typ av funktion, som avbildning en variabel på flera, vanligtvis för att parametrisera kurvor.
Derivata för vektorvärda funktioner
Tillbaka in i bilen
I förra föreläsningsanteckningen, när vi lämnade vår bil körde den upp i bergen. Eftersom det inte är en självkörande bil är det bättre att vi sätter oss tillbaka i bilen för att försäkra oss om att den inte kör av ett stup.
Så låt oss ta det ett steg längre. Bilens position var:
Säg att vi vill veta hastigheten. Vi kan läsa av det på hastighetsmätaren, men det är inte kul jämfört med vad vi kommer att göra.
Att ta derivatan
Ta en titt på denna kurva. Den beskriver till exempel vår bils rörelse längs vägkurvan .
Observera hur ortsvektorn ändras när inkrementeras med . Genom att kalla den lilla "change-in-position" vektorn ser vi att över blir:
Att låta gå till den oändligt lilla differentialen ger derivatan:
Och det är hastigheten där. Lägg märke till att när vi gör tidsskillnaden mindre, kommer resultatvektorn att vara mer och mer parallell med hastighetsvektorn. Skalningen som görs genom att dividera med gör derivatan och hastigheten identiska.
Nu vet vi att kan separeras i koordinater, som alla bara beror på . Därför:
Således kan derivatan av en vektorvärderad funktion tas i en riktning åt gången. Detta generaliserar också till högre dimensioner.
Differentieringsregler
Ibland behöver vi kombinera vektorvärderade funktioner med varandra och/eller med skalära funktioner.
Låt och vara differentierbara vektorvärderade funktioner och en differentierbar skalärvärderad funktion. Sedan, kombinationerna , och är alla differentierbara och följer följande differentieringsregler:
Observera att alla dessa regler följer vår intuition från differentiering av skalära funktioner. , och är versioner av produktregeln och är kedjeregeln. Den sista regeln får vi från att tillämpa kedjeregeln på .
