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Algebra lineal

Dominando el Álgebra Lineal - Conceptos clave como matrices, determinantes y transformaciones lineales

En este curso, proporcionaremos una visión integral del álgebra lineal, incluyendo conceptos clave como espacios vectoriales, transformaciones lineales y operaciones de matrices.

Tabla de contenidos

    ¿Qué se incluye en un curso de álgebra lineal?

    Los siguientes 28 temas se incluyen típicamente en un curso de álgebra lineal

    1. Vectores
    Un vector en física representa una fuerza con una dirección, magnitud y origen dados. Pero en álgebra lineal, un vector tiene las dos primeras propiedades pero carece de un origen. Por lo tanto, puede moverse si es necesario.
    2. Rectas y planos en el espacio
    La ecuación de una recta solo está definida para dos dimensiones. Sin embargo, eso no impide que existan en dimensiones superiores, donde las definimos en forma paramétrica o vectorial.
    3. Sistemas lineales de ecuaciones
    Agrupar varias ecuaciones crea un sistema de ecuaciones, y una solución para el sistema debe resolver cada una de las ecuaciones del sistema. Se dice que el sistema es lineal si cada ecuación tiene la forma: $$ a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n $$
    4. Gauss-Jordan
    Gauss-Jordan es un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Cada sistema cae en uno de tres casos: solución única, sin soluciones o infinitas soluciones.
    5. Aritmética de matrices
    La aritmética de matrices está definida para la suma, resta y multiplicación. Para las dos primeras, las matrices deben tener dimensiones iguales y las operaciones son conmutativas. La multiplicación, sin embargo, no es conmutativa y solo está definida cuando el número de filas de la matriz izquierda es igual al número de columnas de la matriz derecha.
    6. Matrices inversas
    La inversa de una matriz es otra matriz, y el producto de la matriz y su inversa es la matriz identidad.
    7. Dependencia lineal
    Si un vector puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores, el conjunto se considera linealmente dependiente. Si no, los vectores se consideran linealmente independientes.
    8. Espacio de soluciones
    Un espacio de soluciones es el espacio vectorial que contiene todas las soluciones de un sistema dado. Sigue las propiedades de los espacios vectoriales, por lo que si $\vec{x}_1$ y $\vec{x}_2$ son soluciones a $$A\vec{x} = \vec{b}$$ entonces tenemos que $$k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2$$ es una solución para cualquier valor de $k_1,k_2$.
    9. Matrices de forma especial
    Tres tipos de matrices de forma especial son matrices diagonales ($D$), matrices triangulares ($T$) y matrices simétricas ($S$) y matrices antisimétricas ($S_k$). $$ \begin{aligned} D &= \left[\begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array}\right] ,\quad T &&= \left[\begin{array}{cr} t_1 & \phantom{-}0 \\ t_2 & t_3 \end{array}\right] \\ S &= \left[\begin{array}{cc} s_1 & s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] ,\quad S_k &&= \left[\begin{array}{cr} s_1 & -s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] \end{aligned} $$
    10. Determinante
    El determinante es una representación escalar de una matriz, definido por un cálculo específico. La interpretación geométrica es que es un factor de escala para la transformación lineal que representa la matriz. También habla sobre si el sistema de ecuaciones lineales que representa la matriz tiene o no una solución única.
    11. Producto cruzado, área y volumen
    El producto cruzado es un cálculo entre dos vectores en tres dimensiones, y el resultado es un tercer vector único y ortogonal a los dos primeros. La longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo que los dos vectores abarcan. El producto cruzado también se puede utilizar para calcular el volumen de un paralelepípedo, como parte del cálculo llamado producto triple. Dado el volumen que abarca los tres vectores, se calcula un producto cruzado entre dos de ellos y luego se realiza un producto puntual entre el vector resultante y el tercer vector.
    12. Eigenvalores y eigenvectores
    Eigenvalores y eigenvectores están relacionados con una matriz cuadrada dada A. Un eigenvector es un vector que no cambia su dirección cuando se multiplica por A, aunque puede cambiar su longitud. Cuando es aplicable, la longitud cambia por un escalar, que es el eigenvalor correspondiente al eigenvector.
    13. Transformaciones lineales
    Todas las multiplicaciones de matrices son transformaciones lineales. En el caso general, una transformación podría verse como una función, o una caja negra, que para cualquier entrada dada tiene una salida. La definición para que la transformación sea lineal es que la operación sea consistente para dos elementos de entrada, en nuestro caso, dos vectores. Sea L una transformación, x e y vectores, y c y k escalares. Entonces, L es una transformación lineal si, y solo si, $$L(cx + ky) = cL(x) + kL(y)$$
    14. Núcleo e imagen
    Núcleo e imagen son subespacios relacionados con una transformación lineal L representada por la matriz estándar A. El núcleo se refiere al espacio de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales que la matriz A representa, es decir, las soluciones a $$Ax = 0$$ La imagen se refiere al subespacio de todos los vectores resultantes y de la multiplicación de la matriz A con todos los posibles vectores x. $$Ax = y$$
    15. Composiciones de transformaciones lineales
    Las composiciones de transformaciones lineales se tratan de tratar múltiples transformaciones lineales en secuencia. Por ejemplo, digamos que $T$, $R$ y $S$ son transformaciones lineales. Una composición es entonces, por ejemplo, la salida $y$ del vector $x$ para $$T \circ R \circ S(x) = y$$
    16. Base y dimensión
    Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes (por ejemplo, $\vec{v_1}, \ldots \vec{v}_n$) que abarcan un espacio vectorial o subespacio. Eso significa que cualquier vector $\vec{x}$ perteneciente a ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de la base para un conjunto único de constantes $k_1, \ldots k_n$, como: $$ \vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \ldots + k_n\vec{v}_n $$ La dimensión del espacio vectorial corresponde al número de vectores necesarios para formar una base (la base no es única). En este ejemplo, $n$.
    17. Espacio nulo y espacio de columnas
    El espacio nulo (o comúnmente llamado núcleo) y el espacio de columnas (o comúnmente llamado imagen) son espacios relacionados con una matriz $A$ en particular. El espacio nulo es simplemente el nombre del espacio de soluciones para la ecuación homogénea $A\vec{x} = \vec{0}$. El espacio de columnas (o comúnmente llamado imagen) es el rango de la transformación lineal con la matriz estándar $A$, lo que significa todos los posibles vectores $\vec{y}$ que pueden ser mapeados mediante una multiplicación por $A$, de modo que $A\vec{x} = \vec{y}$.
    18. Teorema de la dimensión
    El teorema de la dimensión se aplica a una matriz y su rango (dimensión del espacio de columnas) y nulidad (dimensión del espacio nulo). Sea $A$ una matriz de $m \times n$, entonces según el teorema de la dimensión tenemos que: $$ \operatorname{rank}(A) = \operatorname{nullity}(A) = n $$
    19. Teorema de la proyección
    Por proyección, se hace referencia típicamente a la proyección ortogonal de un vector sobre otro. El resultado es la contribución representativa del primer vector a lo largo del otro vector proyectado. Imagina tener el sol en el cenit, proyectando una sombra del primer vector estrictamente hacia abajo (ortogonalmente) sobre el segundo vector. Esa sombra es entonces la proyección ortogonal del primer vector sobre el segundo vector.
    20. Mínimos cuadrados
    Mínimos cuadrados es un método aplicado para el análisis de datos y la estadística. Se utiliza para describir la relación mediante una serie de observaciones y sus variables explicativas. Digamos que tienes una serie de observaciones (xn,yn), de las cuales te gustaría modelar la relación mediante una ecuación lineal $$c_1x + c_2 = y$$ donde $c_1$ y $c_2$ son constantes que nos gustaría decidir para obtener el ajuste óptimo de nuestra línea a los datos. Esto se hace minimizando la suma de todos los errores, es decir, la distancia a la línea y cada uno de los puntos de datos observados. Esto se calcula fácilmente, primero transformando el sistema de ecuaciones lineales a la ecuación matricial $$Ac = y$$ y luego multiplicando por la traspuesta de la matriz A por la izquierda en ambos lados $$A^TAc = A^Ty$$ lo que resulta en un sistema de matrices cuadradas que tiene una solución única. La solución es el vector c, que consiste en nuestras constantes buscadas $c_1$ y $c_2$.
    21. Gram-Schmidt
    Gram-Schmidt es un algoritmo para encontrar una base ortogonal a un subespacio dado. La entrada al algoritmo es una base conocida pero no ortogonal, y al aplicar el teorema de la proyección en una secuencia, encontrará los vectores de la base uno por uno.
    22. Cambio de base
    Una base es un conjunto de vectores que son linealmente independientes y abarcan un subespacio. Un vector es un elemento de un subespacio, donde sus coordenadas son los representantes escalares de la combinación lineal que puede expresarse mediante los vectores de la base. Dado que una base no es única para un subespacio, cada vector de ese subespacio puede expresarse con coordenadas para cada una de sus bases.
    23. Transformaciones lineales y bases
    Una transformación lineal es siempre con respecto a una base dada. Un desafío común es determinar la matriz estándar A para una transformación lineal dada otra base.
    24. Diagonalización
    La diagonalización es un proceso para descomponer una matriz cuadrada $n$ x $n$ $A$ en el producto de tres matrices; $D$, $P$ y $P^{-1}$ de la siguiente manera $$A = PDP^{-1}$$ donde $D$ es una matriz diagonal que consiste en los eigenvalores de $A$ y $P$ es una matriz cuadrada cuyas columnas son los eigenvectores de $A$. Nota que no todas las matrices cuadradas pueden diagonalizarse, solo aquellas cuyos eigenvectores abarcan el espacio $R^n$
    25. Diagonalización ortogonal
    La diagonalización ortogonal es lo mismo que la diagonalización regular, con el requisito adicional de que los eigenvectores necesitan formar una base ortogonal para $R^n$. Solo las matrices simétricas son diagonalizables ortogonalmente. El proceso de decidir los vectores para la matriz $P$ es aplicando Gram-Schmidt. Luego, por la propiedad de las matrices simétricas, tienes que $$A = PDP^{-1} = PDP^T$$
    26. Forma cuadrática
    Ecuaciones de la forma $$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + ... + a_nx_n^2$$ + todos los términos cruzados posibles $a_kx_ix_j$ con $x_ix_j$ distintos se llaman formas cuadráticas y se pueden expresar con una matriz única $A$ $$x^TAx$$ y su forma geométrica se puede determinar estudiando los eigenvalores de la matriz $A$.
    27. Espacios vectoriales generales
    Los espacios vectoriales no necesitan construirse a partir de números, pueden aplicarse desde un enfoque mucho más general. Una aplicación popular en un curso de álgebra lineal es cubrir espacios polinómicos, donde cada elemento en el espacio es un polinomio. ¿Confundido? puede ser al principio, pero no es tan difícil como parece a primera vista. Lo crucial es conocer los axiomas que definen un espacio vectorial V y ceñirse a ellos. Esos axiomas son

    • El espacio V está cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares
    • La adición es tanto conmutativa como asociativa
    • La multiplicación escalar es tanto conmutativa como asociativa
    • Existencia de una identidad e inverso para la adición
    • Existencia de una identidad e inverso para la multiplicación por escalares
    28. Transformaciones lineales y matrices asociadas

      ¿Qué es álgebra lineal?

      El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que, entre otras cosas, estudia ecuaciones de la forma: $$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b$$ Por lo general, se estudia álgebra lineal primero en la universidad, pero hay quienes tienen una introducción más fácil al tema ya durante la escuela secundaria. Muchas personas asocian un curso de álgebra lineal con vectores, matrices, sistemas lineales de ecuaciones, líneas y planos. Todas estas asociaciones son correctas y también se pueden deducir a partir de la ecuación mencionada anteriormente.

      Preguntas frecuentes

      ¿Qué es una línea en álgebra lineal?

      Si la ecuación es bidimensional, es una línea: $$a_1x_1 + a_2x_2 = b$$

      ¿Qué es un plano en álgebra lineal?

      Si la ecuación es tridimensional, es un plano: $$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = b$$

      ¿Qué es un sistema de ecuaciones?

      Si tenemos varias ecuaciones en la misma forma, estas se pueden considerar un sistema de ecuaciones. La definición de una solución para el sistema debe resolver todas las ecuaciones en el sistema. Un sistema de ecuaciones se puede reescribir como: $$A\vec{x} = \vec{b}$$utilizando la matriz ($A$) y los dos vectores $\vec{x}, \vec{b}$.

      ¿Qué es un vector?

      Un vector en álgebra lineal se trata generalmente como un grupo de números y es una representación de coordenadas. Algunos ejemplos de diferentes dimensiones, es decir, número de coordenadas, son: $$(1,2), (1,-4,2), (99, 104, 3, -7)$$ Mientras que en física, un vector suele representarse como una flecha y representa una fuerza con dirección y magnitud. La idea de que un vector es una fuerza generalmente se sigue en matemáticas, pero aquí se estudian los vectores en un sentido abstracto. En la práctica, un vector puede ser mucho más que una fuerza en física. Un vector puede ser una lista de información en programación, una imagen en análisis de imágenes, un cambio en el precio de una acción con el tiempo en finanzas, y mucho más.

      ¿Qué es un producto cruzado?

      El producto cruzado es un cálculo entre dos vectores en tres dimensiones, y el resultado es un tercer vector que es único y ortogonal a los dos primeros. La longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo que los dos vectores abarcan.

      ¿Para qué se utiliza el álgebra lineal? - 7 casos prácticos

      El álgebra lineal es la piedra angular de todo lo que vemos en nuestra vida cotidiana. Es gracias al álgebra lineal que hacemos volar a Boeing, conducimos a Tesla y escuchamos a Spotify. El álgebra lineal también es la base del aprendizaje automático, que tiene diversas aplicaciones, como que Siri reconozca tu rostro, Alexa reconozca tu voz y que H&M maximice sus ventas en línea. Pero, ¿cómo puede el álgebra lineal ser fundamental para todas estas aplicaciones tan diferentes?

      Los estudiantes suelen decir que el curso se siente abstracto, lo cual es cierto hasta cierto punto. La ventaja de una herramienta abstracta es que solo la imaginación limita su área de uso.

      1. Encriptación

      Una forma inteligente de proteger la información privada que nos enviamos mutuamente es a través de procesos de encriptación y desencriptación que involucran matrices inversas. Para asegurarnos de que un fisgón no pueda leer un mensaje enviado electrónicamente, lo encriptamos, distorsionando y reorganizando los símbolos para que parezcan sin sentido. Para que la persona correcta lo lea, el mensaje debe ser desencriptado en la recepción.

      Utilizando una técnica llamada Cifrado de Hill, el remitente y el destinatario acuerdan una matriz para encriptar mensajes. Dado que el destinatario conoce eso, pueden usar la inversa de la matriz para desencriptar el mensaje.

      2. Tomografía computarizada (CT scan)

      Una tomografía computarizada es un sistema de imágenes médicas que dispara rayos X a través de un cuerpo desde muchos ángulos diferentes. Basándonos en estas imágenes de rayos X, podemos construir una imagen de cómo es el interior del cuerpo. Pero, ¿alguna vez te has preguntado cómo se construye realmente la imagen?

      La respuesta está, por supuesto, en las matemáticas, especialmente en la llamada transformada de Radón. La transformada de Radón es un tipo de transformación integral, que es una transformación lineal general.

      3. Filtros de fotos digitales

      Un píxel se refiere a una pequeña región en tu pantalla representada por tres números entre 0 y 255 que indican la intensidad de los componentes rojo, verde y azul, respectivamente. Usamos píxeles para crear imágenes digitales, y para cambiar la apariencia de una imagen, ajustamos los valores de sus píxeles.

      Establecer los colores en valores similares crea una imagen en escala de grises, y aumentar o disminuirlos dará como resultado una apariencia más clara u oscura, respectivamente. Al cambiar la intensidad de los tres componentes de los píxeles constituyentes, hay infinitas formas en que se pueden manipular las imágenes para resaltar ciertas características. Las operaciones matriciales nos permiten hacer esto de manera eficiente. En consecuencia, la matemática es la responsable de los filtros que hacen que tus publicaciones de Instagram se vean increíbles.

      4. Fijación de precios en, por ejemplo, seguros

      Los autos rojos están sobrerrepresentados en las estadísticas de accidentes de tráfico, pero ¿por qué los costos de seguro para autos rojos no son más altos que para otros autos de color del mismo modelo? Cuando profundizamos un poco, descubrimos que no es el color rojo en sí mismo lo que es un factor de riesgo en las carreteras, sino que el color está vinculado a otras características que sí lo son. El rojo es un color común para los autos deportivos, que tienden a tener motores potentes y conductores masculinos. También tienden a tener una etiqueta de precio alta.

      El costo del seguro es linealmente dependiente del valor del auto y del riesgo de colisión, es decir, si estos aumentan, la prima de seguro aumenta en una cantidad proporcional. La probabilidad de que un automóvil sea de color rojo y su costo de seguro dependen de los mismos parámetros, pero no afectan directamente entre sí.

      5. Motores de búsqueda

      Las computadoras a menudo realizan cálculos en matrices, y resulta que los tipos especiales de matrices donde muchos de sus elementos son cero hacen que los cálculos sean más rápidos y precisos. Larry Page y Sergey Brin, los fundadores de Google, sabían todo sobre cómo funciona la aritmética computacional y cómo optimizarla. Esto permitió la revolución en el mercado de motores de búsqueda que Google llevó a cabo, aumentando tanto la frecuencia de resultados relevantes en la web por diversidad en comparación con sus competidores.

      6. Reconocimiento facial

      Los sistemas de detección facial se utilizan para resaltar las diferencias entre los rostros de las personas para que solo la persona correcta tenga acceso. Estos programas dependen en gran medida del concepto de eigenvectors.

      Resulta que los rostros humanos son linealmente dependientes de combinaciones de ciertas características distintivas, como el color del cabello, el tamaño de la nariz, la distancia entre los ojos, etc. Para construir adecuadamente estas características, el sistema necesita muchas imágenes de personas para aprender, pero después de que ha descrito los aspectos importantes de los rostros, se puede usar una cantidad mucho menor de imágenes especiales para reconstruir y comparar a cualquiera de las personas. Estas imágenes especiales se llaman eigenfaces. El nombre proviene del hecho de que son esencialmente eigenvectors de una matriz que contiene información sobre las características faciales encontradas entre el conjunto de imágenes dado. Los eigenvalues correspondientes dan una medida de cuán importante es cada eigenface para distinguir entre diferentes personas.

      7. Autos autónomos

      Al igual que los conductores humanos, los autos autónomos deben escanear constantemente las carreteras en busca de obstáculos y señales de tráfico para navegar de manera segura. Para poder hacer eso, el automóvil está equipado con cámaras que toman instantáneas del entorno a intervalos muy cortos. Pero, ¿cómo sabe el automóvil si el Volvo de enfrente está conduciendo con desenfado en la carretera o se ha detenido repentinamente como resultado de un accidente?

      La respuesta son las transformaciones lineales. Una imagen de un automóvil a lo lejos tiene una representación de píxeles completamente diferente en comparación con un primer plano del mismo automóvil. Sin embargo, hay una relación lineal entre las imágenes, ya que el automóvil en sí no cambia su apariencia. A través de transformaciones lineales que amplían y rotan la secuencia de imágenes, el algoritmo de conducción autónoma puede determinar el comportamiento del automóvil de enfrente y actuar en consecuencia.

      ¿Es difícil el álgebra lineal?

      El álgebra lineal suele considerarse un umbral difícil para que los estudiantes lo atraviesen. Además del hecho de que es un nuevo mundo en matemáticas que se presenta, también hay un nuevo lenguaje con mucho uso inconsistente. Además, el inglés suele ser un umbral adicional para todos los estudiantes cuya lengua materna no es el inglés. Las partes más difíciles del álgebra lineal suelen ser transformaciones lineales, cambio de base y transformaciones lineales y bases.

      ¿Por qué se llama álgebra lineal?

      El álgebra lineal se llama "lineal" porque trata con ecuaciones lineales y transformaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación en la cual el mayor exponente de la variable es 1. Por ejemplo, $2x + 3 = 0$ es una ecuación lineal, mientras que $x^2 + 4x + 3 = 0$ no lo es. Las ecuaciones lineales se pueden representar gráficamente como líneas rectas.

      Una transformación lineal es una transformación de un espacio vectorial que conserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar. En otras palabras, es una función que asigna un vector a otro de manera que se preserven las propiedades de los vectores y escalares.

      El álgebra lineal también trata conceptos como matrices, determinantes, eigenvalues y eigenvectors, que se utilizan para representar y manipular ecuaciones y transformaciones lineales. Todos estos conceptos tienen propiedades especiales en cuanto a linealidad, por eso el nombre es Álgebra Lineal.

      Buen esquema para álgebra lineal y lista de tareas corta

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