Producto vectorial
La multiplicación entre dos vectores no está definida, pero hay dos definiciones donde la multiplicación aún se usa entre los elementos; producto escalar y producto vectorial. El producto escalar es una simple suma de productos, mientras que el producto vectorial deriva de la definición del determinante, lo cual es reconocible. Mientras que el producto escalar de dos vectores resulta en un escalar, el producto vectorial entre dos vectores es un nuevo vector que es ortogonal a los dos vectores. Una diferencia es que el producto vectorial solo está definido para tres dimensiones (), mientras que el producto escalar está definido para todas las dimensiones del espacio.
Resumimos:
Sean y vectores en . Entonces el producto vectorial de y se nota como y se define como:
o de manera equivalente:
La evolución del producto vectorial se puede deducir de la definición del determinante de . Por lo tanto, expresamos el producto vectorial como la combinación lineal de los vectores unitarios , y :
donde , y son cofactores del determinante de de la siguiente manera:
Las siguientes propiedades se aplican al producto vectorial:
Sean , y vectores en y un escalar. Entonces tenemos:
Area
La fórmula para el área de un paralelogramo es la base multiplicada por la altura. De hecho, el producto vectorial de y está relacionado con la superficie que los dos vectores definen, es decir, que su resultado es igual al área de su superficie. Tenemos la declaración:
Sean y vectores no nulos en y sea el ángulo entre estos dos. Sea el área que se determina por los vectores. Entonces se aplica que:
Primero necesitamos probar que:
El lado derecho sigue la fórmula "la base multiplicada por la altura". El término da la altura a través de trigonometría básica, con la base siendo . De la identidad trigonométrica de Pitágoras tenemos:
Bien, aquí va:
Producto mixto
Como una extensión de cómo el producto vectorial está relacionado con la superficie delimitada por sus dos vectores, definimos el producto mixto de la siguiente manera; Sean , y tres vectores no nulos en . Entonces el producto mixto se define como:
Para la interpretación geométrica, corresponde al volumen del paralelepípedo que definen los tres vectores.
Tenemos la forma general del volumen , es decir, la base se multiplica por la altura , donde la base es la superficie que se extiende por los vectores y .
Así, se deriva la interpretación geométrica.
Vector normal
Un normal es un vector cuya dirección es ortogonal (forma un ángulo recto) a otro objeto. Este objeto puede ser otro vector, un plano, un hiperplano o incluso un objeto geométrico como una superficie no lineal. Este último no se trata en un curso de álgebra lineal, pero es un elemento obvio del análisis multivariable.
La forma más fácil de crear un vector normal para un plano es tomar dos vectores pertenecientes al plano, y , y calcular su producto vectorial:
