Matrices diagonales
Una matriz cuadrada cuyos elementos son todos 0 excepto los elementos diagonales se llama matriz diagonal. La forma general por lo tanto sigue:
donde son números reales. La matriz diagonal es invertible solo si todos los elementos diagonales son no nulos, de lo contrario las columnas serán linealmente dependientes. Si este es el caso,
Siéntase libre de verificar esto confirmando que:
Después de esa confirmación, se vuelve relativamente fácil multiplicar por sí misma veces resultando en:
lo cual se aplica a todos los enteros, positivos y negativos, .
Matrices triangulares
Una matriz triangular es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal siendo 0, en cuyo caso se llama matriz triangular superior o matriz triangular inferior. Siguen las formas:
Además, si todos los elementos diagonales consisten en ceros, las matrices se llaman estrictamente triangular superior y estrictamente triangular inferior, respectivamente. Siguen los formatos:
El siguiente teorema es útil saber sobre las matrices triangulares:
Propiedades de las matrices triangulares.
La transpuesta de una matriz triangular inferior es triangular superior, y la transpuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior.
El producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior, mientras que el producto de dos matrices triangulares inferiores es triangular inferior.
Una matriz triangular es invertible si, y solo si, todos los elementos diagonales son no nulos.
La inversa de una matriz triangular superior invertible es triangular superior, mientras que la inversa de una matriz triangular inferior invertible es triangular inferior.
Matrices simétricas y asimétricas
Una matriz cuadrada es simétrica si y asimétrica si . Recuerde que la transposición puede verse como una reflexión de los elementos alrededor de la diagonal. Ejemplos de matrices simétricas son:
y ejemplos de matrices asimétricas serían:
Note que la diagonal de una matriz asimétrica debe ser cero para que se cumpla el requisito , ya que la diagonal es fija y no se refleja en la transposición.
Si y son matrices simétricas con las mismas dimensiones, y si es un escalar, entonces:
y son simétricas
y son simétricas
es simétrica
El producto de y no es simétrico, porque:
Para que sea equivalente a , también debe ser equivalente a según las declaraciones anteriores, es decir, establecemos el requisito de que:
Dado que sabemos que la multiplicación de matrices no conmuta, por lo tanto se mantiene que el producto entre y es simétrico sobre, y solo sobre, .
Un teorema adicional útil es:
Si es una matriz simétrica invertible, entonces también es simétrica.
Supongamos que es invertible y simétrica. Entonces tenemos:
