Vectores

Un solo punto a menudo se nota como , y y tiene coordenadas. El número de coordenadas siempre corresponde al número de dimensiones en el espacio, como en , o en . Una colección continua de infinitos puntos puede formar una forma geométrica, como una línea o un plano.

Un punto en el espacio...

Un vector en física se dibuja como una flecha y representa el punto de inicio, dirección y magnitud de una fuerza. En el mundo de las matemáticas, la perspectiva práctica se abstrae, donde la mayor diferencia es que los vectores generalmente se consideran libres, lo que significa que no están atados a una posición fija. Cada vector se crea en base a dos puntos (y por lo tanto tiene dirección y longitud). Si uno de los puntos de un vector es el origen, es decir, el punto , el vector se llama vector local. Si ambos puntos están en el origen, el vector se llama vector cero y se nota .

Un vector en el espacio...

Sin embargo, un vector puede ser notado en material impreso como . Por lo tanto, es conveniente usar la notación en un texto manuscrito con una flecha. Por otro lado, es una regla más que una excepción anotar el vector en un texto manuscrito .

Las siguientes leyes, o reglas aritméticas, se aplican a los vectores y a menudo se sienten naturales incluso para el novato:

Un vector tiene longitud y dirección y se deriva de un punto de inicio conocido y un punto final . Por lo tanto, se puede crear usando dos puntos en el espacio mediante la fórmula:

Tomemos el ejemplo con los puntos:

Deje que sea el punto de inicio y el punto final. La fórmula se aplica de la siguiente manera:

y como contraejemplo, en cambio, dejamos que sea el punto final y el punto de inicio:

Nótese que invertir los puntos de inicio y final hace que el vector conserve la longitud pero tenga la dirección opuesta. Tenemos:

Escalar un vector significa multiplicarlo por un escalar . Esto cambia la longitud de . Si , entonces se extiende. Si , entonces se abrevia, y si , entonces obtiene la dirección opuesta.

La suma de dos vectores y constituye un nuevo vector al que podemos llamar , y la notación es la siguiente:

Geométricamente, el vector se puede interpretar como la diagonal del paralelogramo estirado por y .

Algebraicamente, las coordenadas respectivas se suman entre sí, de manera similar a cómo se crea un vector a partir de dos puntos. Por ejemplo, dejemos:

Entonces se aplica que:

Sustraer dos vectores y se asemeja más fácilmente a la suma de un vector positivo y otro negativo de las siguientes maneras:

Geométricamente, el vector se puede interpretar de la misma manera que en la adición de vectores:

Algebraicamente, funciona de manera análoga a la adición. Por ejemplo, dejemos:

Entonces se aplica que:

La definición de la longitud, o norma, de un vector puede ser complicada en matemáticas, pero el curso básico de Álgebra Lineal en principio siempre trata solo con la más práctica basada en el teorema de Pitágoras - la norma euclidiana. Deje que el vector en tenga las coordenadas:

cuya longitud euclidiana se define entonces como:

lo que se puede reconocer del teorema de Pitágoras.

La fórmula sigue de manera similar en dimensiones superiores. En el espacio , la norma de se convierte entonces en:

La longitud del vector también se puede considerar como la distancia entre sus dos puntos porque un vector no es realmente más que una diferencia espacial relativa, o como podemos decirle a la gente común: ¡una flecha entre dos puntos!

Más sobre la distancia en una sección posterior, pero nos daremos el lujo de una derivación de cómo la longitud del vector se relaciona con la distancia entre sus puntos de inicio y final y , respectivamente. Deje:

donde:

entonces tenemos lo que necesitamos para derivar la fórmula de la distancia entre y .

Un vector con longitud (norma) 1 se llama vector unitario. Cada vector en puede convertirse en un vector unitario multiplicándolo por el escalar , es decir, dividiéndolo por su propia longitud. Esto se llama normalizar el vector . Deje que sea el vector normalizado de , entonces:

A menudo se encuentra la expresión anterior como:

que se considera una expresión comprimida de un vector normalizado .

Generalmente, un vector unitario con una coordenada de 1 y el resto de 0 se llama un vector unitario predeterminado y se nota como . La composición de los siguientes fragmentos vectoriales en se llama los vectores unitarios estándar del espacio:

El astuto puede ver que cada vector puede escribirse como una combinación de los vectores unitarios estándar.

La multiplicación de dos vectores, y , no está definida, pero hay dos operaciones que entender; el producto escalar y el producto vectorial. El producto escalar resulta en un escalar (un número) y generalmente se nota como o , mientras que el producto vectorial resulta en un vector completamente nuevo . Deje que y sean dos vectores en :

entonces el producto escalar se define algebraicamente como:

y el producto escalar tiene la siguiente definición geométrica:

donde se refiere a la longitud del vector y se refiere al ángulo entre y .

El producto escalar también está definido para con la misma relación geométrica que la anterior para . El cálculo funciona de manera análoga:

Ortogonalidad significa que dos vectores, líneas o planos son perpendiculares. Por lo tanto, el ángulo entre ellos es .

Note que el producto escalar entre dos vectores ortogonales es siempre 0 porque el ángulo es entonces :

por lo cual cada ángulo entre dos vectores se puede encontrar por:

Estamos listos para la siguiente definición.

Es un desafío común para los principiantes dejar el concepto de grados como unidad para los ángulos y abrazar completamente los radianes en su lugar. Es importante que el estudiante maneje esta transición porque se espera que el estudiante conozca los valores angulares del seno, coseno y tangente según la tabla de ángulos anterior. Esta nota de la conferencia tiene la intención de apoyar esta transición en la vida, y lo hacemos en tres pasos:

¡Empecemos!

Según la imagen, la coordenada corresponde al valor de y las coordenadas corresponden al valor de . Recuerde que:

y que:

También es importante recordar las leyes trigonométricas:

Todos los valores angulares para seno, coseno y tangente que se espera que el estudiante memorice son alguna forma de múltiplo de los cinco ángulos estándar , , , y .

Comienza cada examen escribiendo la tabla de ángulos tal como aparece arriba. Puede ser desalentador, pero si aprendes el método detrás de ella, no necesitas memorizar el contenido. El primer paso es dibujar la estructura de la tabla con los ángulos estándar llenos del paso 2:

Del paso 1, recordamos los valores de y para los ángulos y . Pero en lugar de llenar con 0 y 1 en la tabla, escribimos y , respectivamente.

Lo peor ha pasado porque ahora simplemente llenamos los valores angulares para el seno , y de izquierda a derecha.

¡Es un patrón hermoso! Y el coseno sigue el mismo patrón, solo al revés. ¡Hemos llenado las dos primeras filas!

Solo queda la tangente, que es el seno dividido por el coseno. Al leer los valores de la tabla, simplemente llenamos la última fila.

Para responder a los valores angulares de o entonces se utiliza la tabla de ángulos junto con el círculo unitario y las leyes trigonométricas.

La proyección ortogonal, o perpendicular, entre dos vectores y es una operación (y una transformación o aplicación lineal, pero más sobre eso más tarde) que resulta en un nuevo vector. Si se proyecta sobre , denotamos el nuevo vector , que tiene la misma dirección que .

Según la imagen, vemos cómo se proyecta hacia en un ángulo recto y es paralelo a . Con el teorema de proyección decidimos :

El denominador en el teorema de proyección es necesario para normalizar , es decir, escalarlo para que tenga longitud 1, de lo contrario el vector no obtiene la longitud correcta y por lo tanto no se convierte en una proyección ortogonal. Si ya estuviera normalizado, la fórmula se reduce a:

Y para derivar completamente de la fórmula general, insertemos el vector normalizado:

y obtenemos:

lo que termina la derivación.