Transformaciones lineales y bases

Hay problemas en álgebra lineal que mezclan transformaciones lineales y cambios de base. Estos suelen ser percibidos como los más difíciles de resolver. Todos ellos involucran la multiplicación de matrices, que se puede describir como:

lo cual puede ser confuso, pero en resumen, ¡el cambio de base es una transformación lineal! Consideremos, por un lado, como una matriz de cambio de base, y por otro lado, como una matriz de transformación.

Sea una aplicación lineal. Su matriz de transformación se expresa entonces con respecto a la base estándar como:

Sean:

bases para . Entonces tenemos que la matriz de cambio de base de la base a se expresa como:

Como hemos discutido, una matriz puede referirse tanto a una matriz de transformación para una aplicación lineal como a una matriz de cambio de base. Si queremos producir la matriz de transformación para la aplicación lineal con respecto a la base , podemos calcular lo siguiente (que sigue análogamente de las dos expresiones anteriores):

Sin embargo, el cálculo anterior requiere bastante poder de cómputo (tanto para computadoras como para humanos), y por lo tanto a veces es apropiado usar el siguiente esquema:

El esquema muestra la relación entre las matrices, (matriz de transformación), (matriz de cambio de base) y (la matriz de transformación con respecto a la base ), y los vectores, , , y . El esquema se lee de la siguiente manera: supongamos que partimos del vector y queremos expresar la transformación y el vector de coordenadas . Logramos esto mediante la multiplicación matricial por y , respectivamente:

Si miramos más allá en el esquema, vemos dos expresiones que toman la forma de basadas en el vector , a través de un giro de media vuelta en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario:

Esto implica que la multiplicación de matrices debe ser igual a . Por lo tanto, las siguientes ecuaciones son equivalentes y cada uno puede elegir su favorita: