Espacio de columnas
El espacio de columnas se refiere al subespacio que es generado por los vectores columna (los vectores verticales) de una matriz y se nota como . El espacio de columnas es equivalente a la imagen si consideramos como una matriz de transformación para una aplicación lineal. Sea:
y la matriz sea una matriz de transformación para . Esto significa que se multiplica por vectores en , resultando en vectores en . El espacio de columnas es un subespacio de .
Para encontrar el espacio de columnas de una matriz , necesitamos determinar cuáles columnas son linealmente independientes, para que puedan formar una base para el espacio de columnas. Esto se hace con la ayuda del método de Gauss-Jordan.
Entonces, con la ayuda de operaciones de fila, obtenemos la forma escalonada reducida por filas:
Luego vemos que las columnas uno y dos tienen unos líderes, lo que indica que los vectores columna 1 y 2 de la matriz original forman una base para el espacio de columnas. Tenemos:
Espacio nulo
El espacio nulo de la matriz se refiere al subespacio que consiste en el conjunto solución de la ecuación:
y se nota como . Para todos los sistemas lineales de ecuaciones, exactamente uno de los siguientes tres casos se aplica a sus soluciones: una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. El caso especial con el sistema homogéneo de ecuaciones que tenemos ahora (el término derecho es igual a 0), es que tenemos al menos una solución, a saber (solución trivial). Esto significa que solo nos quedan dos resultados de los tres originales y podemos afirmar, para un sistema homogéneo de ecuaciones, que solo tenemos las alternativas solución única o infinitas soluciones.
Podemos considerar como una matriz de transformación para la aplicación lineal . Sea:
y la matriz sea una matriz de transformación para . Esto significa que se multiplica por vectores en , lo que resulta en vectores en . El espacio nulo es otro subespacio de .
Para encontrar el espacio nulo de una matriz , necesitamos determinar el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones homogéneas para . Esto se hace nuevamente con la ayuda del método de Gauss-Jordan.
Ejemplo
Sea:
Entonces, con la ayuda de operaciones de fila, tenemos la forma escalonada reducida por filas:
Vemos que tenemos una línea cero, y por lo tanto tenemos un número infinito de soluciones. Introducimos un parámetro y continuamos resolviendo:
y vemos que el conjunto de soluciones forma una línea.
Por lo tanto, tenemos que el espacio nulo está generado por el vector y podemos escribir el espacio nulo como:
El resultado se basa en el teorema:
Las operaciones elementales de fila en la matriz no afectan el espacio nulo.
Espacio de filas
El espacio de filas genera las filas de una matriz y se nota como . El espacio de filas se desarrolla con la ayuda del método de Gauss-Jordan. Vamos directamente al ejemplo.
Ejemplo
Sea:
Entonces, con la ayuda de operaciones de fila, obtenemos la forma escalonada reducida por filas:
Vemos que tenemos una fila cero, y las dos filas con unos líderes forman una base para el espacio de fila. Por lo tanto, vemos que el espacio de filas está generado por los vectores y y podemos escribir el espacio de filas como:
El resultado se basa en el siguiente teorema:
Las operaciones elementales de filas en la matriz no afectan el espacio de fila.
Complemento ortogonal
El complemento ortogonal puede ser un vector único o un conjunto de vectores que forman un subespacio. Abordemos esto primero con un ejemplo y tomemos la definición general más tarde.
Ejemplo
Sea el subespacio de que consiste en todos los vectores a lo largo de la línea:
Podemos expresar como:
Vemos que todos los vectores que son ortogonales a la línea constituyen el subespacio , es decir, el complemento ortogonal de . Entonces tenemos:
Estamos listos para la definición general:
Si es un conjunto de vectores en , entonces el complemento ortogonal notado se define como el conjunto de todos los vectores que son ortogonales a cada vector en .
También tenemos un par de afirmaciones útiles:
Si es un conjunto de vectores en , entonces es un subespacio de .
Si es un subespacio de , entonces
Si es un subespacio de , entonces
También tenemos las siguientes afirmaciones para aprovechar:
Si es una matriz , entonces el espacio de las filas de y el espacio nulo de son complementos ortogonales
Si es una matriz , entonces el espacio de las columnas de y el espacio nulo de son complementos ortogonales
Rango
El rango de una matriz es el número de columnas con unos líderes que quedan después de reducir la matriz a su forma escalonada reducida por filas. Es equivalente a la dimensión del espacio de las columnas / imagen.
