Matrices inversas

Sea una matriz de . Si existe otra matriz de tal que la multiplicación matricial de ambas resulte en la matriz identidad , esta matriz se llama la inversa y se llama . Entonces es importante que:

Ahora justificaremos la existencia de la inversa de . Para hacerlo, debemos comenzar desde las matrices elementales. Brevemente, cada operación elemental de fila se puede expresar como una multiplicación de matrices, que se llama entonces una matriz elemental.

Aquí hay algunos ejemplos:

donde, al multiplicar por una matriz de igual dimensión

Entonces, ya que cada operación de fila se puede expresar como una matriz elemental , significa que si una matriz se puede reducir a filas a usando operaciones de fila, se expresa como:

De aquí podemos definir:

Para estar completamente satisfechos, también queremos poder justificar que es invertible. Nos basamos en el hecho de que cada matriz elemental es invertible porque realiza una sola operación de fila en cada matriz y en parte porque cada operación de fila es invertible.

Sea la operación invertida de , entonces tenemos:

Esto significa que podemos invertir la definición anterior de la matriz inversa , ya que se sigue que:

Esto es la base de una hermosa demostración de la existencia de la inversa , si y solo si, puede ser reducida a filas a . Entonces también puede ser invertida, lo que lleva de vuelta a .

De los tres casos para cada sistema de ecuaciones lineales, sabemos que cuando la matriz reducida a filas se convierte en , el conjunto de soluciones es un solo punto, es decir, una solución única. Por lo tanto, se sigue este teorema:

Cuando existe una inversa para , vemos la fuerza en la solución de un sistema de ecuaciones, porque tenemos:

Para encontrar la inversa , asumimos que puede, si existe, expresarse como el producto de k matrices elementales en una ecuación donde el lado derecho es . En otras palabras:

es el desconocido para el que queremos resolver la ecuación anterior, que es como en la ecuación . Si convertimos lo anterior en una matriz aumentada, por lo tanto, obtenemos:

Si el sistema de ecuaciones anterior tiene soluciones, tendrá exactamente una solución, a saber, la inversa buscada . Para averiguar si el sistema tiene una solución, usamos el método de Gauss-Jordan.

Sea:

Establecemos una matriz aumentada para lo anterior y obtenemos:

Con el método de Gauss-Jordan, obtenemos:

Ahora tenemos un término izquierdo en la matriz aumentada exactamente como , lo que significa que el sistema tiene una solución única, donde el término derecho es exactamente que resolvimos.

En resumen, tenemos:

Para matrices de , existe una fórmula para encontrar la inversa si existe. Está relacionada con el determinante.

Si el determinante aún no se ha introducido en este programa, puedes cambiar esa sed de conocimiento y centrarte en la primera línea en la definición a continuación.

Sea:

entonces se aplica a la inversa que: