Aritmética de matrices

La aritmética de matrices está definida para la suma, resta y multiplicación. Para las dos primeras, las matrices deben tener dimensiones iguales y las operaciones son conmutativas. La multiplicación, sin embargo, no es conmutativa y solo está definida cuando el número de filas de la matriz izquierda es igual al número de columnas de la matriz derecha.

Aritmética matricial

Definición de una matriz

Una matriz es una lista rectangular de números, llamados elementos. Cada matriz tiene filas y columnas y su tamaño se llama (se lee "m por n"). Aquí hay algunos ejemplos:

Además, las matrices suelen notarse como enteros (A, B, C, etc.). Sea la matriz A una matriz de . Cada elemento y su identificación (posición en la matriz) suelen notarse como de la siguiente manera:

Adición y sustracción

La suma de matrices solo puede realizarse de manera elemental y si las matrices tienen las mismas dimensiones. Sean y un par de matrices de , y que y que entonces se aplica que;

Aquí tenemos dos ejemplos:

Multiplicación escalar

Sea una matriz de . Entonces se aplica lo siguiente para todos los vectores y en y cada escalar :

La multiplicación escalar con una matriz funciona de manera intuitiva. Sea una matriz de sumada veces. Entonces se aplica que:

y para cada elemento en se aplica que:

Multiplicación de matrices

Para que la multiplicación entre dos matrices esté definida, se requiere que el número de columnas de la matriz izquierda corresponda al número de filas de la matriz derecha. Es decir, las dimensiones de la matriz resultado son el número de filas de la matriz izquierda por el número de columnas de la matriz derecha. En otras palabras:

¿Pero cuál será la matriz resultado de ? Mostramos la multiplicación más sencilla entre la matriz y el vector :

Tomemos un ejemplo:

Sabemos por lo anterior que las dimensiones del resultado de se convierten en y el resultado es:

Tomemos otro ejemplo de multiplicación de matrices donde tiene una columna adicional y por lo tanto se nota como la matriz :

Sabemos por lo anterior que las dimensiones del resultado de se convierten en . El resultado es:

Multiplicación general de matrices

En general, concluimos que el producto de dos matrices, y , se calcula multiplicando las filas de con las columnas de . Entonces el resultado es:

donde los elementos de la matriz se convierten en:

Productos interno y externo

En álgebra lineal, hablamos de productos internos y externos entre dos vectores de la misma dimensión, y . Estos dos se definen de la siguiente manera:

  • producto interno: , es decir, un escalar

  • producto externo: , una matriz

Tomemos el siguiente ejemplo, sean:

Entonces se aplica que los productos interno y externo son:

Identidad, inversa y transpuesta

El estudiante debe estar consciente de las siguientes matrices con las que tratamos en esta sección:

  • (la matriz identidad)

  • (la inversa de )

  • (la transpuesta de )

La matriz identidad

arriba se refiere a la matriz identidad, que se puede ver como un uno multidimensional, una matriz donde todos los elementos son 0 excepto los elementos diagonales, que son todos 1.

La matriz identidad funciona como 1 siendo el operador de identidad para todos los números:

es decir, que:

Nota aquí que la multiplicación por es conmutativa.

Inversa

La matriz identidad también provoca la existencia de una matriz inversa, notada como . Se aplica la siguiente propiedad:

Si es un uno multidimensional, entonces se puede ver como , aunque esa operación sea matemáticamente ilegal.

Transpuesta

Por último, pero no menos importante, tenemos la transpuesta de , que se nota . Se puede ver como una rotación de , donde sus filas se convierten en columnas, de la siguiente manera:

Leyes de la aritmética matricial

Leyes de la adición

Se aplican las siguientes leyes a la adición de matrices;

  • (ley conmutativa)

  • (ley asociativa)

Leyes de la multiplicación

Tener en cuenta que la ley conmutativa no se aplica a la multiplicación de matrices, es decir:

Sin embargo, se aplican las siguientes leyes:

  • (ley asociativa)

  • (ley distributiva)

  • (identidad)

  • (linealidad)

  • (linealidad)

Leyes para la transpuesta

Traza

Para una matriz cuadrada , la traza de es la suma de los elementos diagonales y se llama . Como ejemplo, tomamos:

En general, por lo tanto, para cada matriz cuadrada , la traza se define de la siguiente manera:

Las leyes para la traza de una matriz cuadrada son:

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