Espacio de soluciones

Un conjunto de vectores que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar significa que:

Esto nos lleva a la definición de un subespacio:

Tenga en cuenta que, dado que un subespacio está cerrado bajo adición y multiplicación escalar, también está cerrado bajo todas las combinaciones lineales. Además, el vector debe pertenecer al espacio para ser un subespacio de . También tenga en cuenta que, independientemente de la dimensión de , siempre hay dos subespacios llamados subespacios triviales, a saber, y en sí. Que el subespacio cumple con la definición a menudo cae naturalmente, pero que siempre es un subespacio ahora lo demostramos:

Como ejemplo tomamos un plano en .

Sea la ecuación o forma paramétrica:

Entonces es un subespacio de porque:

Ahora mostramos las tres afirmaciones anteriores.

Todos los subespacios de apartienen a una de tres categorías:

Todos los subespacios de apartienen a una de cuatro categorías:

Nótese, por lo tanto, que todas las líneas y planos que no cruzan el origen no son subespacios, pero son subespacios trasladados y usualmente se llaman variedades lineales. Sea un tal subespacio trasladado, mientras que es un subespacio en . Entonces existe un vector tal que se puede expresar como:

Recuerde las formas paramétricas generales para una línea y un plano, donde se usa el punto como un punto fijo, que se nota arriba como .

Un espacio generado en referencia a un subespacio es una colección de vectores que están cerrados bajo todas las combinaciones lineales posibles del subespacio y se refiere a:

Esto significa que para todos los vectores en este rango, hay un conjunto de escalares tal que:

Es decir, hay una combinación lineal de los vectores para expresar . Además, todos los vectores en el espacio generado son linealmente dependientes de .

Como ejemplo, tomamos un plano en . Sea la forma paramétrica:

Entonces es un subespacio de , y podemos escribir:

Un espacio de soluciones es lo que nos referimos a nuestra colección de puntos que resuelven el sistema lineal de ecuaciones

para nuestra matriz -matriz . En el caso especial de un sistema lineal homogéneo de ecuaciones, lo que significa que el lado derecho es , tenemos que nuestro espacio de soluciones satisface la definición de un subespacio de .

Digamos que tenemos

cuyos resultados de solución se pueden expresar como:

que también es un subespacio de . Además, este conjunto de soluciones es la solución trivial si, y solo si, los vectores de columna de son linealmente independientes.

Para sistemas no homogéneos , es decir, que el lado derecho no es cero, los espacios de solución no son subespacios de .

Estos son subespacios trasladados, llamados variedades lineales, y siempre pueden referenciarse a su sistema homogéneo asociado . Estos dos están asociados de la siguiente manera:

Note que los espacios de solución anteriores solo difieren en un solo elemento, a saber, .

El conjunto de soluciones para cada sistema lineal de ecuaciones sigue uno, y solo uno, de los tres casos:

donde el término punto se expresa más a menudo como una solución, pero se ha elegido precisamente para hacer un punto en esta sección. El primer y último caso no es muy interesante desde un punto de vista geométrico, ya que es uno o ningún punto. El caso intermedio, sin embargo, puede sonar caótico, pero los puntos no están dispersos al azar en el espacio. Por el contrario, están estructurados bellamente en las formas con nombres como línea, plano e hiperplano dependiendo de la dimensión de la forma.

Si el conjunto de soluciones de la ecuación

consiste en un solo punto, esto significa que existe la inversa, y por lo tanto se puede expresar como:

La dimensión del espacio de soluciones es, por ende, 0.

En este caso, la inversa de no existe. Aunque pueda sonar caótico, los puntos nunca están dispersos al azar en el espacio, sino que siempre siguen una forma hermosa. Este caso es el más interesante porque se pueden hacer interpretaciones geométricas, que a su vez se pueden dividir en tres subcasos:

Dado que el conjunto de soluciones es una línea, los puntos se colocan a lo largo de una sola dirección, por ejemplo, , y su dimensión es 1. Entonces podemos decir que la forma paramétrica de la línea, y por lo tanto el conjunto de soluciones, es:

donde es la contribución al subespacio trasladado, y es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado . Si , la línea intersecta el origen y el conjunto de soluciones se puede expresar como

Cuando el conjunto de soluciones es un plano, el conjunto de soluciones se extiende en dos direcciones y su dimensión es 2. La forma paramétrica se escribe como:

Si , el plano intersecta el origen, y el conjunto de soluciones se puede expresar, como en el caso de la línea, como:

Un hiperplano es la expresión general para una ecuación en con el formato:

y su dimensión es . Esto significa que la dimensión del hiperplano depende del espacio , y tiene nombres especiales cuando y cuando , que son línea y plano respectivamente. Por lo tanto, el hiperplano no tiene nombres especiales cuando . Si , el hiperplano cruza el origen, y su conjunto de soluciones se puede expresar como:

donde son vectores de dirección para el hiperplano.

El último caso es que ningún punto resuelve la ecuación . Esto significa que el conjunto de soluciones está vacío, o como decimos nosotros, los matemáticos, es el conjunto vacío, que notamos como:

Para cada sistema lineal homogéneo y consistente de ecuaciones en , lo siguiente aplica para el espacio de soluciones :

Otros teoremas útiles sobre el tema son:

La razón detrás de este teorema es que el sistema puede desarrollarse en:

donde cada ecuación de fila puede considerarse como un hiperplano en , y el espacio de solución del sistema puede considerarse como la intersección de todos estos hiperplanos. Una simplificación del sistema anterior es considerar las constantes de cada ecuación de fila como un vector multiplicado por la variable . Entonces obtenemos:

lo que significa que el producto escalar entre y es 0, y por lo tanto el ángulo entre ellos es ortogonal.