Intro
Användningen av optiska linser och glasskivor som böjer ljusstrålar, gör det möjligt att zooma in och ut med en kamera, samtidigt som bildens skärpa bibehålls. Denna zoomning är en form av linjär transformation av fotot.
Optiska linser är dock något problematiska. Eftersom ljuset böjs olika beroende på färgen kommer bilder tagna med en enda lins att se suddiga ut.
Därför är en kameralins sammansatt av flera optiska linser placerade i serie för att korrigera för distorsion. Följaktligen kan den slutliga bilden som tagits av en kamera ses som en sammansättning av linjära transformationer .
Koncept
Eftersom produkten av att multiplicera en vektor med en matris är en ny vektor, finns det inget som hindrar oss från att multiplicera en sådan resulterande vektor med en andra matris för att bilda en tredje vektor.
Alternativt kan denna vektor erhållas genom att först multiplicera de två matriserna, och därmed bilda en enda matris att multiplicera den initiala vektorn med.
Matriser vi använder för att multiplicera vektorer utgör linjära transformationer. En matris konstruerad som en produkt av två separata matriser bildar en sammansättning av två linjära transformationer.
En sammansättning av linjära transformationer utför flera linjära transformationer samtidigt
Detta koncept är inte begränsat till två matriser och kan utvidgas till valfritt antal individuella linjära transformationer.
Summering
Om vi låter och referera till två linjära transformationer, och vi vill tillämpa följt av på vektorn , då ser ekvationen för den sammansatta linjära transformationen ut som följer:
Nu spelar det ingen roll i vilken ordning vi utför beräkningarna.
Därför kan vi skriva som en enkel linjär transformation genom att definiera :
Observera dock att matrismultiplikationer inte nödvändigtvis är kommutativa, vilket betyder att vi måste vara uppmärksamma på ordningen och
Efter denna mall kan vi bilda en sammansättning av vilket antal som helst av linjära transformationer som
Sammansättning av linjära avbildningar
En sammansättning av två linjära avbildningar är att man tar två linjära avbildningar på en och samma gång. Ta exemplet att är en rotation och är en spegling, enligt
då innebär den sammansatta linjära avbildningen
för den godtyckliga vektorn att vi först utför en rotation och sen en spegling (exekvering sker från höger till vänster, och man läser detta som S cirkel R). Låt standardmatriserna och gälla för respektive avbildning. Då har vi att den sammansatta standardmatrisen är
så att
Detta gäller även analogt för sammansättning av stycket linjära avbildningar. Då har vi att standardmatrisen för
blir
Som att matrismultiplikation beror på ordningsföljden och man inte kan anta att multiplikationen är kommutativ (AB = BA), så gäller detta analogt för linjära avbildningar.
Exempel
Låt vara rotationen med vinkel och vara speglingen mot linjen . Då har vi de två vektorerna och enligt bilden nedan:
