Ett naturligt behov är att kunna beräkna avstånd i rummet. Det kan vara avståndet mellan två punkter, mellan en punkt och en linje eller mellan en linje och ett plan. Det finns avståndsformler för de olika fallen och de presenteras här.

Det är lockande att lära sig dessa utantill men det rekommenderas inte, för det finns ett starkt samband mellan studenter som inte klarar tentamen och de som lär sig dessa formler utantill istället för att lära sig hantverket.

Med ett avstånd avser vi alltid den kortaste sträckan mellan två punkter, vilket är förenligt med att räkna ut längden av en vektor som har skapats utifrån dessa två punkter. Då gäller funktionen för :

vilket kan kännas igen från längden av vektorn. Eftersom att varje vektor är en relativ differens i de olika leden, det vill säga en pil mellan två punkter, kan formeln för avståndet mellan punkterna härledas från definitionen av vektorns längd.
Vad som gäller vidare för avståndsformeln är:

Vi går igenom två metoder för att räkna ut avståndet mellan punkten och linjen .

Låt

Tag en punkt som ligger på linjen . Med lite skaparglädje ser man att och spänner upp ett parallellogram med höjden . Arean är basen multiplicerat med höjden, som också är lika med längden av kryssprodukten . Därför kan vi dividera det sistnämnda med längden av basen (vektorn ) för att få ut höjden .

Ovan formel fungerar endast för eftersom att kryssprodukten endast då är definierad.

Låt

Avståndet kan finnas genom projektion och att se följande samband enligt enkel vektorsummering:

Därför gäller att

Det kortaste avståndet mellan punkten och den punkten på linjen vars vektor utgör en rät vinkel mot linjen. Om både och skulle vara kända punkter hade uträkningen av längden varit enkel, nämligen

Kom ihåg att , alltså att vektorn är ortogonal mot linjen . Vi finner den okända punkten genom att ställa upp motsvarande krav på , alltså ekvationen

eftersom att om de två är rätvinkliga så är skalärprodukten 0. Punkten är en okänd med flera koordinater, vilket ställer till det eftersom det rent praktiskt blir fler okända (en per koordinat) och vi har bara en ekvation, nämligen den ovan. Däremot kan punkten uttryckas med hjälp av parameterformen för för något okänt parametervärde

där och är kända. Vi gör följande substitution:

Ekvationen löses för det ända okända värdet, nämligen , för när vektorn bildar en rät vinkel med . När löst, sätt in i parameterformen och få den eftersökta punkten . Då har vi två kända punkter, och , och avståndet är längden av dess vektor

Med lite skaparglädje kan vi konstruera planet som innehåller punkten och har en normalvektor parallell med riktningsvektorn för . Från det kan skärningspunkten mellan och bestämmas, som också kommer vara den närmaste punkten på linjen till . Tillvägagångssättet blir följande:

Låt vara ett plan och vara en punkt i rummet enligt följande:

Skapa linjen som går genom punkten och träffar planet under rät vinkel. Riktningsvektorn blir därför planets normalvektor (som vi läser av från planets ekvation). Vi får då:

Vi söker skärningspunkten mellan linjen och planet . Parameterformen för uttrycker alla punkter längs linjen och vi kan uttrycka varje sådan punkt på följande sätt:

Vår konstruktion av garanterar en skärningspunkt just för att riktningsvektorn är planets normalvektor. Därför stoppar vi in ovan uttryck i planets ekvation:

Ovan ekvation löses enkelt eftersom endast är okänd. Låt oss notera lösningen som

vilket också ger den eftersökta skärningspunkten när den stoppas in i parameterformen för . Punkten får därför följande koordinater

Nu är både och kända och därför räknas avståndet enkelt ut genom att skapa vektorn och beräkna längden:

Vilket leder till avståndsformeln för punkt och plan. Igen - det rekommenderas att minnas metoden fram till formeln, inte att minnas formeln utantill!