Om du har en kurva i 2D, använd Greens formel. Om du har en kurva i 3D, ja, då fungerar inte Greens formel . Och vad sägs om Greens formel för kurvor i högre dimensioner? Tyvärr inte.

Men det finns ett riktigt smart teorem som gäller för högre dimensioner. Stokes teorem säger i princip samma sak som Greens formel. Det är bara det att vi har lagt till några faktorer och integrerade tecken, så att vi kan hantera högre dimensioner.

I grund och botten säger satsen följande:

Här är en kurva och en yta. För att tillämpa Stokes sats, se till att normalvektorn är orienterad i rätt riktning. Annars blir ditt svar fel med en faktor på .

Okej, men varför är alla dessa blandningar av och och vettiga? Ta en titt på de tre fallen här.

Men vi kan faktiskt studera vilken yta vi vill. Varför? Tja, vår slutna linjeintegral kan delas upp i två separata slutna linjeintegraler. På ytan tar de bort varandra. Så randen är det enda som betyder något, egentligen.

Beräkna:

där beskrivs av:

och:

Lösning : är delen av en sfär med radien centrerad vid punkten som ligger ovanför -planet.

Villkoret betyder att -komponenten av normalvektorn till bör vara positiv.

Randen för är där sfären skär -planet. När skär -planet betyder det att . Således beskrivs av

Vi kan nu använda Stokes sats för att beräkna

Men observera nu att också är randen till skivan som beskrivs av

Vi kan alltså använda Stokes sats igen

Eftersom skivan ligger i -planet är dess normalvektor parallell med -axeln

Skalärprodukten betyder att vi bara bryr oss om -komponenten av , som är

Således,

Den sista integralen ger oss arean av skivan . Slutligen kan vi dra slutsatsen att