Intro
De flesta teorem i matematik är uppkallade efter män. Under lång tid fick kvinnor inte chansen att göra högre matematik.
De satser vi kommer att täcka här följer den regeln. Och bara för att göra saken värre, två av killarna hette George. Mångfald var ingen sak då.
Här kommer vi att lära oss om Greens formel, Stokes sats och Gauss sats.
George Green och Sir George Stokes var båda fysiker. De gav viktiga bidrag till vätskedynamik. Carl Friedrich Gauss var en tysk matematiker, allmänt ansedd som en av vår tids största hjärnor.
Så på den matematiska muren av berömmelse, skulle det främst finnas män. Förhoppningsvis ändras det snart.
Koncept
Alla dessa vektorberäkningssatser kan verka ganska frånkopplade. De två första, Greens formel och Stokes sats, handlar om rotation. Den tredje, Divergenssatsen, handlar om divergens. Vad har de gemensamt?
En integral längs en rand kan omvandlas till en integral längs en linje. Det är vad dessa satser gör. De ger dig recept för att växla mellan dimensioner. Och det förenklar beräkningarna avsevärt (vilket alltid är bra).
Så i det här avsnittet kommer vi att upptäcka de tre stora: Greens formel, Stokes sats och Divergenssatsen.
Summering
Det finns tre huvudsatser för matematisk analys. De listas nedan, följt av några råd.
1) Greens sats
2) Stokes teorem:
3) Gauss teorem eller Divergenssatsen:
När vi läser satserna kan de verka skrämmande och abstrakta. Men frukta inte: satserna har verkliga fysiska betydelser som inte är så komplicerade, om man tittar på dem en del i taget.
Så först, fokusera på de enskilda komponenterna i satserna, försök att förstå dem. Fortsätt sedan med att sätta ihop bitarna till en berättelse.
Greens formel
Vi har nu nått höjdpunkten på vår resa genom flervariabelanalys land. Att lära sig om partiella derivator var som "meh". Optimering var som "aha". Och nu ska vi lära oss om några flervariabelanalys kalkylsatser - de riktigt coola grejerna.
Men du behöver en solid grund för att förstå dessa satser. Så om du känner dig lite skakig på linjeintegraler, rotation och divergens, ta en titt på dem igen.
Som vi har sett kan linjeintegraler vara riktigt otäcka. Det tar ganska lång tid att beräkna i sig själv! Och sedan måste du koppla in till och beräkna hela integralen. Ewww...
Det är här Greens formel kommer in i bilden. Green's förvandlar en linjeintegral till en vanlig dubbelintegral. Teoremet säger följande:
Här är en sluten kurva, som är styckvis kontinuerligt differentierbar. Kurvan omsluter området . Dessutom kräver vi att och är kontinuerligt differentierbara.
Saken på höger sida är bara 2D rotation. Och faktiskt, om du tittar på följande bilder, verkar det inte naturligt att linjeintegralen ökar när rotationen över regionen ökar?
Här är några exempel på Greens formel:
Exempel 1
Beräkna:
där är den positivt orienterade rand för kvartsskivan som beskrivs av:
Lösning : I det här exemplet har vi följande:
Vi kan använda Greens formel för att beräkna :
Sedan ändrar vi till polära koordinater:
Exempel 2
Beräkna:
där är den positivt orienterade rand för ellipsen som beskrivs av:
Lösning : I det här exemplet har vi följande:
Vi kan använda Greens formel för att beräkna :
Den sista integralen är arean av , vilket naturligtvis är . Således,
Stokes sats
Om du har en kurva i 2D, använd Greens formel. Om du har en kurva i 3D, ja, då fungerar inte Greens formel . Och vad sägs om Greens formel för kurvor i högre dimensioner? Tyvärr inte.
Men det finns ett riktigt smart teorem som gäller för högre dimensioner. Stokes teorem säger i princip samma sak som Greens formel. Det är bara det att vi har lagt till några faktorer och integrerade tecken, så att vi kan hantera högre dimensioner.
I grund och botten säger satsen följande:
Här är en kurva och en yta. För att tillämpa Stokes sats, se till att normalvektorn är orienterad i rätt riktning. Annars blir ditt svar fel med en faktor på .
Okej, men varför är alla dessa blandningar av och och vettiga? Ta en titt på de tre fallen här.
Men vi kan faktiskt studera vilken yta vi vill. Varför? Tja, vår slutna linjeintegral kan delas upp i två separata slutna linjeintegraler. På ytan tar de bort varandra. Så randen är det enda som betyder något, egentligen.
Exempel
Beräkna:
där beskrivs av:
och:
Lösning : är delen av en sfär med radien centrerad vid punkten som ligger ovanför -planet.
Villkoret betyder att -komponenten av normalvektorn till bör vara positiv.
Randen för är där sfären skär -planet. När skär -planet betyder det att . Således beskrivs av
Vi kan nu använda Stokes sats för att beräkna
Men observera nu att också är randen till skivan som beskrivs av
Vi kan alltså använda Stokes sats igen
Eftersom skivan ligger i -planet är dess normalvektor parallell med -axeln
Skalärprodukten betyder att vi bara bryr oss om -komponenten av , som är
Således,
Den sista integralen ger oss arean av skivan . Slutligen kan vi dra slutsatsen att
Divergenssatsen
Nu har vi kommit fram till vårt sista teorem. Trumvirvel, tack? Denna sats är allestädes närvarande i fysiken och är verkligen viktig.
Så låt oss anta att du är en trollkarl som står (svävar, svävar?) i mitten av en stängd vattentank. Du har skapat dig en bubbla där du kan andas. Ta en titt på skissen så förstår du vad jag menar.
När du säger 'abrakadabra' skapar du magiskt 3 liter vatten som rinner ut från behållarens mitt.
Men vatten är inkompressibelt: molekylerna kan inte packas tätare. Eftersom vatten skapas i tanken måste det rinna ut någonstans. Det som går in går ut, du vet. Det betyder att vatten kommer att rinna ut från vårt lilla utlopp i det övre högra hörnet.
Denna sats, Divergenssatsen, centrerar sig kring denna idé. Teoremet säger att:
Här är en kontinuerligt differentierbar yta, som kapslar in volymen . Dessutom bör vektorfältet vara kontinuerligt differentierbart.
Divergenssatsen är lite som Stokes teorem, men för divergensen snarare än rotationen.
Nu ska vi arbeta med ett exempel för att hjälpa dig att absorbera allt.
Exempel
Solens radie är och dess avstånd från jorden är .
Energin per kvadratmeter från solen på jordytan är . Beräkna energin som genereras per kubikmeter från solen. Antag att den alstrade energin är jämnt fördelad.
Först beräknar vi en ytintegral runt en sfär med radien detta ger oss den totala utstrålade energin. Observera att energin som försvinner från solen har en riktning eftersom den färdas i rymden. Denna riktning är i samma riktning som sfärens normalvektor :
Därefter, enligt divergenssatsen, vet vi att;
Från uppgiften berättade vi att energin som skapas av en kubikmeter av solen är lika med och konstant inne i sfären. Därför vet vi att . Vi vet att solen bara skapar energi inuti den och därför finner vi att om vi använder
Därefter noterar vi följande:
När vi isolerar finner vi att:
Återigen är det värt att upprepa att:
