Vi har nu nått höjdpunkten på vår resa genom flervariabelanalys land. Att lära sig om partiella derivator var som "meh". Optimering var som "aha". Och nu ska vi lära oss om några flervariabelanalys kalkylsatser - de riktigt coola grejerna.

Men du behöver en solid grund för att förstå dessa satser. Så om du känner dig lite skakig på linjeintegraler, rotation och divergens, ta en titt på dem igen.

Som vi har sett kan linjeintegraler vara riktigt otäcka. Det tar ganska lång tid att beräkna i sig själv! Och sedan måste du koppla in till och beräkna hela integralen. Ewww...

Det är här Greens formel kommer in i bilden. Green's förvandlar en linjeintegral till en vanlig dubbelintegral. Teoremet säger följande:

Här är en sluten kurva, som är styckvis kontinuerligt differentierbar. Kurvan omsluter området . Dessutom kräver vi att och är kontinuerligt differentierbara.

Saken på höger sida är bara 2D rotation. Och faktiskt, om du tittar på följande bilder, verkar det inte naturligt att linjeintegralen ökar när rotationen över regionen ökar?

Här är några exempel på Greens formel:

Beräkna:

där är den positivt orienterade rand för kvartsskivan som beskrivs av:

Lösning : I det här exemplet har vi följande:

Vi kan använda Greens formel för att beräkna :

Sedan ändrar vi till polära koordinater:

Beräkna:

där är den positivt orienterade rand för ellipsen som beskrivs av:

Lösning : I det här exemplet har vi följande:

Vi kan använda Greens formel för att beräkna :

Den sista integralen är arean av , vilket naturligtvis är . Således,