Nu har vi kommit fram till vårt sista teorem. Trumvirvel, tack? Denna sats är allestädes närvarande i fysiken och är verkligen viktig.

Så låt oss anta att du är en trollkarl som står (svävar, svävar?) i mitten av en stängd vattentank. Du har skapat dig en bubbla där du kan andas. Ta en titt på skissen så förstår du vad jag menar.

När du säger 'abrakadabra' skapar du magiskt 3 liter vatten som rinner ut från behållarens mitt.

Men vatten är inkompressibelt: molekylerna kan inte packas tätare. Eftersom vatten skapas i tanken måste det rinna ut någonstans. Det som går in går ut, du vet. Det betyder att vatten kommer att rinna ut från vårt lilla utlopp i det övre högra hörnet.

Denna sats, Divergenssatsen, centrerar sig kring denna idé. Teoremet säger att:

Här är en kontinuerligt differentierbar yta, som kapslar in volymen . Dessutom bör vektorfältet vara kontinuerligt differentierbart.

Divergenssatsen är lite som Stokes teorem, men för divergensen snarare än rotationen.

Nu ska vi arbeta med ett exempel för att hjälpa dig att absorbera allt.

Solens radie är och dess avstånd från jorden är .

Energin per kvadratmeter från solen på jordytan är . Beräkna energin som genereras per kubikmeter från solen. Antag att den alstrade energin är jämnt fördelad.

Först beräknar vi en ytintegral runt en sfär med radien detta ger oss den totala utstrålade energin. Observera att energin som försvinner från solen har en riktning eftersom den färdas i rymden. Denna riktning är i samma riktning som sfärens normalvektor :

Därefter, enligt divergenssatsen, vet vi att;

Från uppgiften berättade vi att energin som skapas av en kubikmeter av solen är lika med och konstant inne i sfären. Därför vet vi att . Vi vet att solen bara skapar energi inuti den och därför finner vi att om vi använder

Därefter noterar vi följande:

När vi isolerar finner vi att:

Återigen är det värt att upprepa att: