Reella och komplexa tal

Reella tal är sådana som kan uttryckas som decimaler, oavsett om antalet decimalsiffror är ändligt eller oändligt.

Till exempel är både och reella tal.

Vi kan ordna alla reella tal på den reella talaxeln , enligt deras relativa storlek, från till .

Observera att oändligheterna i sig inte kan skrivas som decimaler och är därför inte reella tal. Det finns dock inga största eller minsta reella tal.

Dessutom finns det inga luckor i den reella talaxeln, så mellan två distinkta reella tal kan vi alltid hitta fler av dem.

Symbolen används ofta för att referera till mängden av alla reella tal, som vi vet är oändligt många.

När man kvadrerar ett reellt tal är produkten alltid positiv, så vad är då kvadratroten av ett negativt tal?

Det visar sig att det finns andra typer av tal än reella, med den definierande egenskapen:

, och varje skalär multipel därav, kallas ett imaginärt tal .

Som ett exempel,

är ett imaginärt tal .

Komplexa tal komponeras genom att lägga till ett reellt tal och ett imaginärt tal . Resultatet är , som är en punkt i det komplexa koordinatsystemet, med den reella delen på -axeln och den imaginära på -axeln.

Som framgår av figuren kan också uttryckas i termer av längden och vinkeln . Detta kallas den polära formen och skrivs .

Ett tredje alternativ är att skriva det komplexa talet i exponentiell form som , där är Eulers tal.

För att kompakt uttrycka:

då kan vi använda följande notation:

Här betyder den hårda parentesen att kan anta värdet och parentesen betyder att inte kan anta värdet , men det kan komma godtyckligt nära.

Bilden nedan visar hur vi representerar öppna och slutna mängder på den reella talet tallinjen

Om vi vill kombinera två intervaller använder vi symbolen,

vi kallar detta unionen mellan två mängder. Till exempel om vi vill ha alla i och alla mellan så skulle vi kunna skriva detta som

Om vi istället vill ha alla som är i två intervall. Till exempel alla i som också finns i . Det vill säga intervallet . Då skulle vi kunna skriva detta som

Vi kallar detta skärningspunkten mellan de två mängder.

Ta en titt på följande ekvation:

Denna ekvation lyder som en fråga:

- Vilket tal ska vara så att avståndet mellan och är exakt 2?

Svaret är naturligtvis och

För att lösa detta algebraiskt använder vi definitionen av det absoluta värdet:

Den första ekvationen ger lösningen och den andra .

Följande ojämlikhet:

lyder också som en fråga:

- Vilket tal ska vara så att avståndet mellan och är större än eller lika med 2?

Svaret är naturligtvis och .

Vi kan lösa denna ojämlikhet algebraiskt genom att använda definitionen av det absoluta värdet:

Att lösa den första olikheten ger lösningen och den andra .

Kom ihåg följande när du multiplicerar och dividerar med negativa tal i olikheter: