Polynom
Definition
En speciell familj bland matematiska funktioner är polynom , som vanligtvis noteras . De är lätta att upptäcka tack vare sin vackra struktur. Följande exempel sägs vara ett polynom av grad 3:
Som exemplet antyder är polynom summor av termer som var och en är en konstant multipel av en icke-negativ heltalspotens av variabeln . Vi är nu redo för den formella definitionen:
Ett polynom är en funktion av följande form:
där och kallas koefficienter, eller konstanter, för polynomet. Den högsta potensen av i polynomet kallas graden av polynomet. (Observera att en koefficient kan vara noll, vilket eliminerar den specifika potensen från polynomet)
Exempel
är ett polynom med grad 0
är ett polynom av grad 1
är ett polynom av grad 3
Faktorisering
Varje polynom kan faktoriseras, liknande hur vi är bekanta med faktorisering av tal, till exempel talet 21:
Men innan vi ägnar oss åt polynomfaktorisering, låt oss överväga multiplikationen av två polynom, och . Produkten är i själva verket ett polynom av grad , om är av grad och är av grad . Låt oss till exempel säga att och . Vi har:
Nu är vi redo för det motsatta påståendet, att varje polynom kan faktoriseras med sina lösningar till , även kallade rötter. Låt oss återanvända vårt exempel från tidigare:
Det framgår av faktoriseringen att har lösningarna , och .
Observera att inte alla polynom har reella numrerade rötter, men om vi tillåter komplexa tal har vi samma antal rötter som graden av polynomet. De får dock inte vara distinkta. Till exempel,
har två distinkta rötter, och , där är en dubbelrot. Det ger oss:
Polynomdivision
Innan vi visar hur vi utför polynomdivision kommer vi att återgå till metoden som används vid vanlig polynomdivision. Metoden är ganska enkel. Du börjar med ett tal, till exempel och försöker dividera det med . Metoden är att alltid ta bort en storleksordning från numret. Det första steget är att skriva:
Nästa steg är att ta bort . Vi sätter också 30 över våra ekvationer
Efter detta finner vi att vi fick . Därefter måste vi ta bort . Vi lägger till den övre delen med .
Efter allt detta fick vi vårt slutgiltiga svar. Observera att är resterande del i det här fallet. Observera också att .
Nu är vi redo att diskutera polynomfallet. Till att börja med definierar vi rationella funktioner.
En funktion kallas rationell om den kan uttryckas som
där både och är polynom.
Ibland kan vi förenkla dessa bråk med polynomdivision. Att dividera polynom är en mer komplex procedur men den grundläggande idén är densamma. Säg att vi vill dividera med , båda är polynom. Sedan vill vi hitta och nedan
För att göra detta mer konkret kommer vi att visa ett exempel. Säg att du vill dividera med . Det första steget är att skriva vårt polynom med samma metod som ovan.
Därefter fokuserar vi på att hitta ett sätt att bli av med . Observera att , på grund av detta kan vi dela bort den delen av polynomet. Observera att vi får en rest på 4x.
är inte delbart med , utan eftersom och därför kan vi skriva: (Vi får återigen en rest i detta fall 11 ).
Därför
