Funktioner

Om vi skär en tvåhalvad kon med ett plan får vi en av tre saker:

De ser ganska olika ut, men att de alla kan skapas genom konskärningstricket visar att de har något gemensamt. Deras vanliga namn är kägelsnitt , och de kan alla skrivas som andra ordningens polynom i och .

Märkligt nog är rörelserna hos planeter, stjärnor och kometer alla kägelsnitt.

Genom att bara skära den övre delen eller nedre delen av konen får vi en ellips. Ellipsekvationen ser ut så här:

Om vi låter får vi en cirkel, vilket är ett specialfall av en ellips.

Konstanterna bestämmer förhållandet mellan axlarna. Om vi ritar ellipsen i -planet och blir ellipsen mer utsträckt längs -axeln än -axeln, och vice versa.

Planetbanor är elliptiska.

En parabel är vad du får om du ökar vinkeln mellan planet och horisontalplanet så mycket att ellipsen glider ut ur konen. Parabeln är obegränsad.

Parabler kan skrivas som

eller byta ut med , beroende på axlarnas orientering.

Genom att öka vinkeln mellan horisontalplanet och konen ännu mer kommer vi till en punkt där planet skär såväl den nedre delen av konen som den övre delen. Detta ger upphov till hyperbeln.

Hyperbolekvationen ser ut så här:

Liksom parabeln är hyperbeln obegränsad, men den består av två delar som speglar varandra.

Om en komet flyger mot jordens närhet kommer dess hastighet att avgöra om den kommer att fångas upp av gravitationen och gå in i en elliptisk bana, eller flyga förbi efter en hyperbolisk kurva.

Ekvationen för en rät linje är:

Värdet är där linjen avskärningar -axeln och berättar om linjens lutning.

Om lutar linjen uppåt.

Om lutar linjen nedåt.

För att beräkna , ta två punkter och som ligger på linjen. Då definieras som

För att hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna och vill vi bestämma konstanterna och i ekvationen:

Vi börjar med att bestämma :

Bestäm sedan genom att skriva ekvationen för linjen:

Välj nu en av de två punkterna och koppla in dess och värde i ovanstående ekvation och lös för . Låt oss använda punkten .

Således är ekvationen för linjen

Den allmänna formen av en kvadratisk funktion är:

där , och är konstanter.

En sådan funktion bildar en andragradskurva , även känd som en parabel , där definierar dess bredd och riktning (upp eller ner).

Vidare förskjuter parabeln i sidled, som kan ses i exemplen nedan, och bestämmer var kurvan korsar -axeln.

Vi är ofta intresserade av att hitta punkterna där en funktion är noll, känd som dess rötter.

Titta på följande:

Att skriva det som kallas faktorisering, och det låter oss snabbt läsa att dess enda rot är .

Låt oss nu istället titta på:

När vi försöker lösa det får vi:

Därför, även i fall där vi inte har några riktiga rötter, kan vi fortfarande hitta imaginära eller komplexa.

När vi inte helt kan faktorisera en andragradsekvation, kan ett trick som kallas att fylla i kvadraten vara till hjälp, som ser ut så här:

Sedan

och vi har , vilket gör och till de två rötterna.

Om ingen av metoderna ovan är lätt att använda kan vi alltid vända oss till kvadratformeln för att hitta rötterna. Formeln säger att:

för , den allmänna formen av en andragradsekvation.

Ta en titt på funktionen . Vad händer om vi mängd till ? Division med är strängt förbjudet i matematikland! Det kommer inte bara att ge mig dålig karma, utan det kommer också att förstöra mina beräkningar. Om jag tänkte använda för efterföljande beräkningar, kanske att använda som ett indata till en annan funktion, kommer jag att få problem. Om , kommer att vägra returnera något värde.

Så matematiker säger att faller utanför definitionsmängden för , eftersom inte returnerar något värde där. I matematisk analys måste du vara snäll mot de funktioner du stöter på, och se till att du bara matar dem -värden från deras definitionsmängd.

Lägg också märke till att kan returnera alla tal från till . Därför säger matematiker att s intervall är hela den reellt tal tallinjen. Däremot kan bara returnera positiva värden, så dess intervall är alla positiva tal och .

På bilden nedan är klumpen definitionsmängden och den inre cirkeln av klumpen representerar intervallet. Men hela klumpen kallas målmängden.

En jämn funktion är en funktion som är symmetrisk kring axeln, i matematiska termer uttrycks detta som

ett exempel på en jämn funktion är

Faktum är att alla jämna potenser av såsom är jämna funktioner.

En udda funktion är en funktion som är symmetrisk om vi vänder den del av grafen till vänster om -axeln upp och ner. I matematiska termer uttrycks detta som

ett exempel på en udda funktion är

Faktum är att alla udda potenser av som är udda funktioner.

En sammansatt funktion är när vi lägger en funktion som indata till en annan funktion . Detta resulterar i en ny funktion, som vi kommer att kalla

Det finns några olika notationer för . Dom är:

I allmänhet kommer inte att ha samma definitionsmängd som eller .

Låt med definitionsmängd och låt med alla reella tal som definitionsmängd och låt vara en komposition, då är några exempel:

En funktion är som en köttkvarn. Mata den med ett indata, så producerar den något annat. Om du matar den med en köttbit finns det inget sätt att du kan få två olika sorters utdata. Vår köttbit kan bara pressas på ett sätt. Man får vad man får, typ.

Ok, det kan vara ganska tillfredsställande att se en köttkvarn i aktion. Sök bara efter "tillfredsställande video" på YouTube, så kommer du förmodligen att se en köttkvarn. Men det blir ganska tråkigt att titta på en köttkvarn, åtminstone efter ett tag.

Dessutom, om du bara använder en köttkvarn, är du ganska begränsad. Tänk om du är kock och vill göra två olika sorters nötkött? Kanske kommer du inte att använda samma köttkvarn till lamm som till fläsk. Fläsket är inte lika mört, och du skulle vilja hacka det i finare bitar. Tja, varför inte justera inställningarna?

Först, medan du hanterar fläsket, vrider du vredet till inställningarna för att få finare bitar. Därefter, när du gör lammet, ändrar du inställningarna igen.

Matematiker gör ibland samma sak med funktioner. Till exempel kan de definiera en funktion som är när är negativ, och när är positivt. De använder de första inställningarna för att förbereda fläsket. Sedan, när det är dags att göra lammet, ändrar de inställningarna. Så här kan det se ut: