Intro
Föreställ dig att du är en kartograf och du skapar en atlas som förklarar världen. Det enda problemet är att när du skapar din atlas tappar du höjddimensionen, eftersom ditt papper är platt. Det finns inget sätt att se höjden på ett träd eller ett hus i din atlas.
Information går förlorad
Anledningen till detta är att du projicerar den verkliga världen som är tredimensionell på papper som är klart platt. Därför tar atlasen bort en av dimensionerna, och dimensionen som tas bort kallas nollrummet.
Koncept
Vi kan föreställa oss kolumnerna i en matris som individuella vektorer i dimensioner. Kolonnrummen för är då alla möjliga linjärkombinationer av dessa vektorer.
Om vi istället konstruerar vektorer från raderna i kommer dessa , -dimensionella vektorer och deras linjärkombinationer att bilda radrummet .
Konceptet med nollrum är lite annorlunda. Vi kan tänka oss nollrummet för som mängden vektorer som blir när den multipliceras med . Vi kan hitta genom att lösa den välbekanta ekvationen:
Summering
Om kolumnerna eller raderna i inte är linjärt oberoende , kommer några av dem att vara redundanta för att bilda kolonnrummen respektive radrum .
Detta kan vi bestämma genom Gauss-Jordan-eliminering, där alla rader eller kolumner som inte innehåller ett ledande element i den reducerade trappstegsform kan ignoreras när vi bildar kolumnen och radrum.
För kolonnrummen plockar vi kolumner från den ursprungliga matrisen , medan val av radvektorer för radrummet görs bättre från dess reducerade form.
Matrisen och dess reducerade trappstegsform:
ger upphov till följande mellanslag, med och som skalningsparametrar:
Kolonnrum
Kolonnrumet avser det underrum som spänns upp av kolonnvektorerna (de vertikala vektorer) till en matris och noteras som . Kolonnrummet är ekvivalent med bildrummet om vi bektraktar som en standardmatris till en linjär avbildning. Låt
och -matrisen är en standardmatris till . Det betyder att multipliceras med vektorer i som resulterar i vektorer i . Kolonnrummet är ett underrum till .
För att ta reda på kolonnrummet till en matris behöver vi bestämma vilka kolonner som är linjärt oberoende så att de kan utgöra en bas för kolonrummet. Detta görs med hjälp av Gauss-Jordan.
Exempel
Låt
Då har vi med hjälp av radoperationer den reducerade trappstegsformen
Då ser vi att kolumn ett och två har ledande ettor, vilket indikerar att kolonnvektor 1 och 2 till ursprungsmatrisen utgör en bas för kolonnrummet. Vi har att
Nollrum
Nollrummet till -matrisen avser det underrum som utgörs av lösningsmängden till ekvationen
och noteras som . För alla linjära ekvationssystem så gäller precis ett av följande tre fall för dess lösningar: unik lösning, inga lösningar eller oändligt många lösningar. Specialfallet med det homogena ekvationssystemet vi har nu (=högerledet är lika med 0) är att vi har minst en lösning, nämligen (triviala lösningen). Det betyder att vi endast har två utfall kvar från de ursprungliga tre och kan konstatera att för det homogena ekvationssystemet har vi endast alternativen unik lösning eller oändligt med lösningar.
Vi kan bektrakta som en standardmatris till den linjära avbildningen . Låt
och -matrisen är en standardmatris till . Det betyder att multipliceras med vektorer i som resulterar i vektorer i . Nollrummet är ett underrum till .
För att ta reda på nollrummet till en matris behöver vi bestämma lösningsmängden till det homogena ekvationssystemet för . Detta görs med hjälp av Gauss-Jordan.
Exempel
Låt
Då har vi med hjälp av radoperationer den reducerade trappstegsformen
Då ser vi att vi har fått en nollrad och därmed har vi oändligt många lösningar. Vi inför en parameter och fortsätter att lösa
och vi har att lösningsmängden ligger längs med linjen
Därför har vi att nollrummet spänns upp av vektorn och kan skriva nollrummet som
Utfallet baseras på satsen
Elementära radoperationer på matrisen påverkar inte nollrummet.
Radrum
Radrummet spänns upp av raderna till en -matris och noteras som . Radrummet tas fram med hjälp av Gauss-Jordan. Vi går direkt till exempelet.
Exempel
Låt
Då har vi med hjälp av radoperationer den reducerade trappstegsformen
Då ser vi att vi har fått en nollrad och de två raderna med ledande ettor utgör en bas för radrummet. Därför har vi att radrummet spänns upp av vektorerna och och kan skriva radrummet som
Utfallet baseras på satsen
Elementära radoperationer på matrisen påverkar inte radrummet.
Ortogonalt komplement
Det ortogonala komplementet kan både vara en enskild vektor men även ett uppsättning av vektorer som utgör ett underrum. Låt oss angripa detta med ett exempel först för att ta den generella definitionen sen.
Exempel
Låt underrumet till vara alla vektorer längs med linjen
Vi kan uttrycka som
Då har vi att samtliga vektorer som är ortogonala mot linjen utgör underrummet , det vill säga det ortogonala komplementet till . Alltså har vi att
Vi är redo för den allmänna definitionen
Om är en mängd vektorer i , så är det ortogonala komplementet som noteras definierat som mängden av alla vektorer som är ortogonala till varje vektor i .
Vi har även ett par nyttiga satser
Om är en mängd vektorer i så är ett underrum till .
Om är ett underrum till , så gäller att
Om är ett underrum till så gäller att
Vi har även följande satser att dra nytta av
Om är en -matris, så är radrummet till och nollrummet till ortogonala komplement
Om är en -matris, så är kolonnrummet till och nollrummet till ortogonala komplement
Rang
Rangen på en -matris är antalet kolumner med ledande ettor som finns kvar efter att ha radrecuderat matrisen till reducerad trappstegsform. Det är ekvivalent med att dimensionen av kolonnrummet/bildrummet.
