Intro
Alla som någonsin har provat att lägga till, subtrahera eller multiplicera med noll vet att det är ett mycket bekvämt tal att räkna med.
Dessa dagar, när de flesta beräkningar görs av datorer, har denna enkelhet förts över till den digitala sfären. Detta borde inte vara någon överraskning eftersom datorer trots allt är byggda av människor.
Datorer utför ofta beräkningar på matriser och det visar sig att speciella typer av matriser där många av deras element är noll gör beräkningar både snabbare och mer exakta.
Larry Page och Sergey Brin, grundarna av Google, visste allt om hur datoraritmetiken fungerar och hur man optimerar den.
Detta möjliggjorde revolutionen på sökmotormarknaden som Google åstadkom, vilket ökade både frekvensen av relevanta träffar på webben per mångfald jämfört med deras konkurrenter.
Koncept
Det finns ett par speciella typer av matriser som är särskilt intressanta för oss. De tenderar alla att vara kvadratiska och innehåller vanligtvis många nollor.
Huvuddiagonaler har alla element noll utom de längs huvuddiagonalen. Ett specialfall av en diagonalmatris är enhetsmatrisen .
Exempel:
Dessutom kan triangulära matriser också ha element som inte är noll ovanför huvuddiagonalen, vilket gör den till den övre triangulära, eller under den för att ta formen av en undertriangulär matris:
En annan speciell typ av matriser, symmetriska, har sina element ovanför huvuddiagonalen som spegelbilden av de under.
Exempel:
Summering
Anledningen till att dessa speciella former är intressanta för oss är att matematiken tenderar att förenklas avsevärt.
Att addera, subtrahera eller multiplicera två matriser som är antingen diagonala eller triangulära ger alltid en matris av samma form.
Därför kan vi genast infoga ett gäng nollor i den resulterande matrisen utan att slösa tid på att gå igenom onödiga beräkningar.
Exempel:
Symmetriska matriser har också fördelaktiga egenskaper, en av dem är att transponeringen ger dig tillbaka samma matris.
Diagonalmatris
En kvadratisk -matris vars samtliga element utöver diagonalelementen är 0 kallas för en diagonalmatris. Generella formen följer därför
där är reella tal. Diagonalmatrisen är endast inverterbar om samtliga diagonalelement är nollskilda, eftersom annars blir kolonnerna linjärt beroende. Om sådant är fallet gäller att
Kontrollräkna gärna detta genom att bekräfta att
Efter den bekrätelsen blir det relativt lättspjälkt att multiplicera med sig själv gånger resulterar i
vilket gäller för alla heltal, positiva och negativa, .
Triangulära matriser
En triangulär matris är en kvadratisk -matris som har att alla element över eller under diagonalen är 0, varpå den då kallas övertriangulär respektive undertriangulär matris. De följer formerna
Skulle dessutom samtliga diagonalelement utgöras av nollor så kallas matriserna för strikt övertriangulär respektive undertriangulär matris. De följer formaten
Följande sats är nyttig att känna till gällande triangulära matriser
Triangulära matrisers egenskaper.
Transponaten av en undertriangulär matris är övertriangulär, och transponaten av en övertriangulär matris är undertriangulär.
Produkten av två övertriangulära matriser är övertriangulär, medan produkten av två undertriangulära matriser är undertriangulär.
En triangulär matris är inverterbar om, och endast om, alla diagonala element är nollskilda.
Inversen av en inverterbar övertriangulär matris är övertriangulär, medan inversen av en inverterbar undertriangulär matris är undertriangulär.
Symmetrisk- och skevsymmetrisk matris
En kvadratis matris är symmetrisk om och skevsymmetrisk om . Kom ihåg att transponaten kan ses som en spegling av elementen kring diagonalen. Exempel på symmetriska matriser är
varav exempel på skevsymmetriska matriser skulle vara
Notera att diagonal i en skevsymmetrisk matris måste vara noll för att kravet ska hålla då diagonalen är fast och speglas inte i transponeringen.
Om och är symmetriska matriser med samma dimensioner, och om är skalär, så gäller att
och är symmetriska
och är symmetriska
är symmetrisk
Produkten mellan och är inte symmetriskt, eftersom att
för att ska vara ekvivalent med betyder det att enligt ovan även måste vara ekvivalent med , dvs vi ställer kravet att
Eftersom vi vet att matrismultiplikation inte kommuterar så gäller därför att produkten mellan och är symmetrisk om, och endast om, .
En ytterligare nyttig sats är
Om är en inverterbar, symmetrisk, matris så är även symmetrisk.
Antag att är inverterbar och symmetrisk. Då har vi att
