Intro
En pixel hänvisar till en liten region på din skärm representerad av tre siffror mellan 0 och 255 som indikerar intensiteten för den röda, gröna respektive blå komponenten.
Vi använder pixlar för att skapa digitala bilder, och för att ändra utseendet på en bild, justerar vi värdena på dess pixlar.
Om du ställer in färgerna till liknande värden skapas en gråskalebild och en ökning eller minskning av dem kommer att resultera i ett ljusare respektive mörkare utseende.
Genom att ändra intensiteten hos de tre komponenterna i de ingående pixlarna, finns det oändliga andra sätt på vilka bilder kan manipuleras för att förbättra vissa funktioner. Matrisaritmetik gör det möjligt för oss att göra det effektivt.
Följaktligen är det en del av matematiken att tacka för filtren som får dina Instagram-inlägg att se fantastiska ut.
Koncept
Liksom med vektorer görs operationer på matriser, element för element, på olika sätt. Det finns faktiskt ett starkt samband mellan vektorer och matriser.
En vektor kan betraktas som en matris med endast en rad eller kolumn, vilket gör den till en radvektor eller en kolonnvektor.
En matris är en samling vektorer och matrisoperationer liknar vektoroperationer
Omvänt kan matriser ses som en samling av antingen rad- eller kolonnvektorer fästa vertikalt respektive horisontellt.
I ljuset av detta kan vi tillämpa det vi vet om vektoroperationer på matrisaritmetik.
Summering
Addition och subtraktion av två matriser och är okomplicerat. Alla element läggs helt enkelt till eller subtraheras till elementen i motsvarande position.
Matrismultiplikation är något mer omfattande, men inte särskilt svårt. Låt oss återgå till sambandet med vektorer. För att erhålla elementet i -raden och -kolumnen i produkten tar vi skalärprodukten från raden i med kolumn av .
Matrisaritmetik
Definition av matris
En matris är en rektangulär lista med tal, kallade element. Varje matris har rader och kolonner och dess storlek benämns som (läses "m gånger n"). Här är ett par exempel:
Vidare brukar matriser noteras som heltal (A, B, C etc). Låt matrisen A vara en -matris, och då brukar varje element samt dess id (position i matrisen) noteras som på följande sätt:
Addition och subtraktion
Summering av matriser kan endast ske om de har samma dimensioner och sker elementvis. Låt både och vara ett par -matriser, och att samt att då gäller att:
Här har vi två exempel:
Skalär multiplikation
Låt vara en -matris. Då gäller följande för varje alla vektorer och i och för varje skalär :
Skalär multiplikation med en matris fungerar intuitivt. Låt vara en -matris som summeras gånger. Då gäller att:
och för varje element i gäller att
Matrismultiplikation
För att multiplikationen mellan två matriser ska vara definierad krävs att antalet kolonner hos den vänstra matrisens ska överrensstämma med antalet rader hos den högra matrisen. Det vill säga, resultatmatrisens dimensioner är vänstermatrisens antal rader gånger högermatrisens antal kolonner. Alltså:
Men vad blir resultatmatrisen av ? Vi visar det enklast med multiplikationen mellan matris och vektor :
Låt oss ta ett exempel:
Vi vet enligt ovan att dimensionerna av resultatet av blir och resultatet är:
Låt oss ta ett till exempel med matrismultiplikation där vi låter får en ytterligare kolonn och därmed noteras som matrisen :
Vi vet enligt ovan att dimensionerna av resultatet av blir och resultatet är:
På generell basis konkluderar vi att produkten av två matriser, och , räknas ut genom att parvis multiplicera raderna hos med kolonnerna hos . Alltså blir resultatet:
där elementen i matrisen blir:
Inre och yttre produkt
Inom linjär algebra pratar vi om inre och yttre produkt mellan två vektorer med samma dimension, och . Dessa två är definierade enligt följande:
inre produkt: , dvs en skalär
ytter produkt: , en matris
Ta följande exempel, låt:
Då gäller att inre respektive yttre produkten är:
Identitet, invers och transponat
Studenten behöver ha koll på följande matriser som vi behandlar i detta avsnitt:
(identitetsmatrisen)
(inversen av )
(transponaten av )
Identitetsmatrisen
ovan avser identitetsmatrisen, vilket kan ses som en multidimensionell etta, en -matris där samtliga element är 0 förutom diagonalelementen som alla är 1.
Identitetsmatrisen fungerar som att 1 är identitetsoperatorn för alla tal
nämligen att
Lägg märke här att multiplikationen med är kommutativ.
Inversen
Identitetsmatrisen föranleder även existen av en matrisinvers, noteras som . Följande egenskap gäller:
Om är en multidimensionell etta så kan ses som , även om den operationen är matematiskt olaglig.
Transponaten
Sist, men inte minst, har vi transponatet av som noteras . Det kan ses som en vridning av , där dess rader blir kolonner, på följande sätt:
Matrisaritmetikens lagar
Lagar vid addition
Följande lagar gäller för matrisaddition:
(kommutativ lag)
(associativ lag)
Lagar vid multiplikation
Lägg märke till att den kommutativa lagen inte gäller för matrismultiplikation, dvs:
Däremot gäller följande lagar:
(associativ lag)
(distributiv lag)
(identitet)
(linjäritet)
(linjäritet)
Lagar för transponat
Spår
För en kvadratisk matris är spåret av (även kallat trace) summan av diagonalen och benämns . Som exempel tar vi:
Generellt gäller alltså att för varje kvadratisk matris så är trace definierat på följande sätt:
Lagarna för spåret av en kvadratisk matris är:
