Intro
I linjär algebra och dess tillämpningar är konceptet med kärnor mycket användbart, vilket ger oss lösningarna på många problem vi stöter på.
Att hitta kärnan kan vara tidskrävande för komplexa problem, vilket förklarar den stora spänningen som uppstår efter att Jack Dongarra utvecklat en banbrytande metod för att effektivt approximera kärnor.
2021 mottog Jack J. Dongarra motsvarigheten till Nobelpriset i datavetenskap, Turing Award. Juryns motivering var:
För hans banbrytande bidrag till numeriska algoritmer och bibliotek som gör det möjligt för högpresterande datorprogramvara att hålla jämna steg med exponentiella hårdvaruförbättringar i över fyra decennier
Med enorma bidrag till BLAS och LAPACK råder det ingen tvekan om att Dongarra är en hjälte på området.
Koncept
I samband med linjär algebra syftar termen bild inte på bilder som vi är vana vid. Istället är bild en förkortning för bildrum , som helt enkelt är ett annat namn för intervallet för den linjära transformationen. Med andra ord, bilden av är mängden av alla möjliga utdata som är resultatet av att multiplicera vilken vektor som helst med .
I linjär algebra hänvisar bilden av till intervallet för den linjära transformationen
En egenskap för alla matrismultiplikationer är att . Följaktligen finns alltid i bilden. Men är kanske inte den enda vektorn som ger upphov till som utdatat.
Mängden av alla vektorer som producerar när de multipliceras med kallas kärnan av och betecknas med
Summering
Per definition är kärnan i matrisen mängden vektorer som uppfyller:
Som tidigare diskuterats i kursen bildar denna ekvation ett homogent system av linjära ekvationer, där vi nu använder termen kärna för att referera till dess lösningsmängd.
På samma sätt är bilden av inget annat än en annan term för mängden vektorer som är lösningar till ekvationen
Multiplikationen av matrisen kan ses som en linjär transformation och termerna kärna och bild är bara meningsfulla i detta sammanhang.
Kärna
Kärnan till en linjär avbildning avser alla vektorer i definitionsmängden som avbildas på nollvektorn i bildrummet och noteras ofta som ker. En alternativ förklaring är att kärnanär lösningsmängden till den homogena ekvationssystemet . Kärnan brukar även kallas för nollrum vilket brukar godkännas och de två uttrycket anses vara synonymer. Skulle man dock tillfråga en matematiker finns det hög risk att man skulle få svaret att kärnan och nollrummet inte är ekvivalenta koncept, men är essentiellt lika koncept eftersom att de delar samma definition. Den semantiska skillnaden är att kärnan avses för den linjära avbildningen medan nollrummet avses för standardmatrisen till den linjära avbildningen. Rent praktiskt i en grundkurs i linjär algebra brukar bägge uttrycken hanteras som ekvivalenta.
Återgår vi till definitionen av kärna så kan vi algebraiskt hänvisa till följande definition.
Låt
vara en linjär avbildning med definitionsmängd och målmängd . Då kallar vi mängden av alla vektorer som uppfyller följande ekvation till som kärnan
vilket kan beskrivas som en mängd av vektorer i relation till den linjära avbildningen som
Den visuella definitionen för kärnan finns i följande bild, noterad som ker:
Kärnan för tre avbildningar
Låt oss ta de tre linjära avbildningarna projektion, spegling och rotation som exempel och lista deras kärna:
Projektion mängden av alla vektorer som är ortogonala mot objektet som projektionen avser.
Spegling endast nollvektorn
Rotation endast nollvektorn
Bildrum
Bildrummet till en linjär avbildning avser alla vektorer i målmängden som har avbildats från minst en vektor i definitionsmängden. Vi kan även beskriva definitionen som att bildrummet till en linjär avbildning avser mängden av alla dess möjliga avbildningar. En tredje formulering kan vara att bildrummet till den linjära avbildningen är alla möjliga linjärkombinationer av dess standardmatris kolonner.
Det är inte meningen att förvirra med att beskriva bildrummet med tre olika exempel. Syftet är att erbjuda fler formuleringar så att chansen att en av dem kan upplevas som förståelig för nybörjaren. Inför tentamen bör dock alla tre definitionsexempel upplevas som förståeliga.
Bildrum och värderum är okontroversiellt ekvivalenta uttryck, medan kolonnrum brukar hanteras rent praktiskt som ett ekvivalent uttryck. Dock kan en matematiker hävda att kolonnrum är essentiellt samma koncept som bildrum/värderum eftersom att definitionerna är analoga, men att den semantiska skillnaden är att bildrum/värderum avses för den linjära avbildningen medan kolonnrum avses för standardmatrisen till den linjära avbildningen. Rent praktiskt i en grundkurs i linjär algebra brukar alla tre uttrycket hanteras som ekvivalenta.
Definitionen av bildrum/värderum kan algebraiskt definieras som
Låt
vara en linjär avbildning med definitionsmängd och målmängd . Då kallar vi mängden av alla vektorer som är en lösning till ekvationen
för bildrummet, bilden och värderummet till . Det kan även beskrivas som en mängd av vektorer i relation till den linjära avbildningen som
Den visuella definitionen för bildrummet finns i följande bild, noterat som Im:
Bildrummet för tre avbildningar
Låt oss ta de tre linjära avbildningarna projektion, spegling och rotation som exempel och lista deras bildrum:
Projektion underrummet som är objektet som projektionen avser.
Spegling hela rummet
Rotation hela rummet
