Intro
Ett smart sätt att skydda den privata information vi skickar till varandra är genom kryptering och dekrypteringsprocesser som involverar inversmatriser .
För att säkerställa att en avlyssnare inte kan läsa ett meddelande som skickas elektroniskt, krypterar vi det, förvränger och ordnar om symbolerna så att de ser ut som nonsens.
För att rätt person ska kunna läsa det måste meddelandet sedan dekrypteras vid mottagandet.
Med hjälp av en teknik som kallas "Hill Cipher" kommer avsändaren och mottagaren överens om en matris att använda för att kryptera meddelanden. Eftersom mottagaren vet det kan de använda inversen av matrisen för att dekryptera meddelandet. Detta gör meddelandet läsbart igen.
Detta är en välkänd lösning inom cybersäkerhet, och används ofta som ett av stegen i tillförlitliga kryptografiska algoritmer.
Koncept
Att multiplicera valfritt tal som inte är noll med ger dig tillbaka samma nummer. Detta betyder också att om du delar ett tal med sig själv får du .
Ett annat sätt att säga att vi dividerar med ett tal , är att säga att vi multiplicerar med dess multiplikativa invers .
Inversen till en matris är en annan matris, och produkten av matrisen och dess invers är enhetsmatrisen.
Faktum är att det inte finns något som heter division, det är bara en term som används för att multiplicera med en invers.
Vi kan dock multiplicera med inversen av en matris , betecknad som , vilket resulterar i enhetsmatris , som vi kan tänka oss som motsvarigheten till talet för matrismultiplikation.
Summering
Det finns ingen garanti för att existerar. Till exempel måste vara en kvadratisk matris.
Om inversen av en matris dock existerar, gör följande faktum inversen av en matris till ett kraftfullt verktyg.
Tänk på den välbekanta ekvationen:
Bara existensen av säger oss att det finns en unik lösning. Dessutom finner vi vektorn relativt lätt om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med :
Genom att utföra multiplikationen kommer därför automatiskt att generera vektorn som är vår önskade lösning.
Inversa matriser
Motivering
Låt vara en -matris. Om det finns en annan -matris sådan att matrismultiplikationen av dem resulterar i identitetsmatrisen kallas denna matris för inversen och benämns . Då gäller det att:
Vi ska nu motivera existensten av inversen av och för att göra det behöver vi utgå från elementära matriser. Kortfattat kan varje enskild elementär radoperation uttryckas som en matrismultiplikation, som då kallas för elementär matris. Här är några exempel:
varpå multiplicerade med en likdimensionell matris
multplicerar andra raden med -3.
byter plats på rad 1 och 4.
summerar första raden med fem gånger av tredje raden.
Så, eftersom att varje radoperation kan uttryckas som en elementär matris , innebär det att om en -matris kan radreduceras till med hjälp av stycken radoperationer, kan uttryckas som:
Från ovan kan vi definiera
För att vara helt nöjda vill vi även kunna motivera att är inverterbar. Vi stöttar oss på att varje elmentär matris är inverterbar eftersom att den dels gör en enskild radoperation på varje matris och dels för att varje radoperation är inverterbar. Låt vara den inverterade operationen av , varpå att
Det betyder att vi kan invertera ovan definition av inversa matrisen eftersom det följer att:
Detta är grunden till ett vackert bevis för existensen av inversen , om och endast om, kan radreduceras till . Då kan även inverteras vilket leder tillbaka till . Från de tre fallen för varje linjärt ekvationssystem känner vi till att då den radreducerade matrisen blir är lösningsmängden en enskild punkt, dvs en unik lösning. Därav följer denna sats:
För varje -matris är följande påståenden till fullo förenligt sanna eller falska.
Den reducerade trappstegsformen av är .
kan uttryckas som produkten av elementära matriser.
är inverterbar, dvs existerar.
har en unik lösning för alla .
Då en invers till existerar så ser vi styrkan i lösningen av ett ekvationssystem, eftersom att:
Finna inversen
För att finna inversen utgår vi från att den kan, om den finns, uttryckas som produkten k stycken elementära matriser i en ekvation där högerledet är . Alltså
är den okända vi önskar lösa ekvationen ovan för, som i likhet till i ekvationen . Övergår vi till totalmatrisen för ovan får vi därför
Om ekvationssystemet ovan har lösningar kommer den ha precis en lösning, nämligen eftersökta inversen . För att finna ut om systemet har en lösning använder vi oss av metoden Gauss-Jordan.
Exempel
Låt
Vi ställer upp totalmatrisen ovan och får
Med Gauss-Jordan får vi
Nu har vi ett vänsterled i totalmatrisen som precis vilket innebär att systemet har en unik lösning, varpå högerledet är precis som vi löste för. Sammanfattat har vi:
Invers till 2x2-matris
För -matriser finns en formel för att finna inversen om den finns. Den är kopplad till determinanten. Om inte determinanten ännu har introducerats i denna kursplan kan man lägga den kunskapstörsten på vänt och fokusera på första raden i nedan definition. Låt
då gäller det för inversen att
