Vad används diagonalisering till i praktiken?
Den hastighet med vilken ett läkemedel sprids genom kroppen kan beskrivas med en speciell diffusionsekvation.
Ekvationen är ganska komplicerad och involverar flera derivator - med avseende på flera variabler. Men att lösa ekvationen handlar om att hitta en diagonalmatris.
Om läkemedlet är ett bedövningsmedel ger en lösning av ekvationen dig information om när det kan vara säkert att operera patienten.
Det finns flera andra exempel på svåra problem som kan lösas med samma teknik. Ganska coolt, eller hur?
Vad innebär diagonalisering av en matris?
diagonalisering av en matris hänvisar till processen att hitta tre speciella matriser som producerar när de multipliceras med varandra.
Det speciella med dessa matriser är att matrisen i mitten av multiplikationen, som vi betecknar , är diagonal , vilket betyder att dess element är noll överallt utom längs dess huvuddiagonal.
Detta faktum innebär att vi inte är fria att välja tre matriser vars produkt är .
Det visar sig att de två matriserna, andra än , kommer att vara inversen till varandra och därför formulerar vi diagonaliseringen enligt följande:
Sådana matriser , , och finns inte alltid, måste till exempel vara en kvadratisk matris.
Diagonalisering och matrismultiplikation
Om en matris är diagonaliserbar, dvs det faktum att:
kan vara till stor nytta för oss. Ett exempel är i fall där vi behöver utföra upprepad multiplikation med .
Tänk på beräkningen:
och kom ihåg vad vi tidigare har lärt oss om multiplikationer med inversa och diagonalmatriser:
Detta kan utökas till multiplikationen av valfri potens av :
där annulleringarna, tillsammans med att produkten av diagonalmatriser också är diagonal, kan påskynda beräkningen avsevärt.
Mer om diagonalisering - introduktion och exempel
Introduktion
Diagonalisering är en viktig och grundläggande metod med applikationer inom en rad olika vetenskapliga områden som matematik, statistisk analys och fysik. Det praktiska kan vara svårt att ta till sig direkt, men ett par exmpel är att inom statistik reda ut hur olika förklaringsvariabler samverkar mellan varandra och inom kvantmekaniken modularisera de energier som är i spel. Kortfattat handlar matematiken om att vissa kvadratiska matriser kan delas upp i komponenter som en produkt av två matriser, och så att
där är en ortogonalmatris, är dess invers och är en diagonalmatris. Synar vi dessa två matriser närmare ser vi att
där kolonnerna till är egenvektorer till och elementen till är motsvarande egenvärden till .
Definition
En kvadratisk matris är diagonliserbar om, och endast om, den har stycken linjärt oberoende egenvektorer. En alternativ formulering är att dess egenrum behöver tillsammans spänna upp hela .
Matrisen är diagonaliserbar om, och endast om, det finns stycken linjärt oberoende egenvektorer
För att förstå en mer teknisk kravformulering för diagonaliserbarhet behöver man känna till termerna algebraisk multiplicitet och geometrisk multiplicitet. Dessa två egenskaper kopplas till respektive egenvärde och definieras som:
Egenvärdets algebraiska multiplicitet motsvarar dess grad på roten i karaktäristiska polynomet .
Egenvärdets geometriska multiplicitet motsvarar dimensionen för dess egenrum.
Sambandet mellan dessa två termer är att den algebraiska multipliciteten alltid är större eller lika med den geometriska multipliciteten.
Algebraisk multiplicitet geometrisk multiplicitet
Dessa två termer dikterar möjligheten för att är diagonaliserbar. Ett sätt att formulera detta krav är att summan av egenvärdenas geometriska multiplicitet måste vara lika med . Ett alternativt sätt att formulera sig på är att summan av egenvärdenas algebraiska multiplicitet ska vara lika med summan av dess geometriska multiplicitet.
Vi sammanfattar med hjälp av följande sats.
Diagonaliserbarhet
Låt vara en kvadratisk matris. Då är följande påståenden ekvivalenta.
är diagonaliserbar
har linjärt oberoende egenvektorer
har en bas bestående av egenvektorer till
Summan av den geometriska multipliciteten av egenvärden till är lika med
Den geometriska multipliciteten för varje egenvärde till är samma som dess algebraiska multiplicitet
Exempel på en diagonaliserbar matris
Låt
För att reda ut om matrisen är diagonaliserbar behöver vi reda ut om summan av geometriska multipliciteten är 3, eftersom att matrisen är . Därför behöver vi först bestämma matrisens egenvärden, vilket görs via ekvationen
som leder oss till det karaktäristiska polynomet
Vi kan se att vi har två egenvärden, respektive . Vi ser vidare att är en enkelrot och är en dubbelrot. Alltså har vi enligt definitionen för algebraisk multiplicitet att
har algebraisk multiplicitet 1
har algebraisk multiplicitet 2
Räknar vi ut lösningsmängden för respektive egenvärde har vi att
Från ovan ser vi att dimensionerna för egenrummen är 1 respektive 2. Alltså konstaterar vi att egenvärdenas geometriska multiplicitet är
har geometrisk multiplicitet 1
har geometrisk multiplicitet 2
Nu kan vi konkludera att summan av egenvärdenas algebraiska multiplicitet överrenstämmer med summan av egenvärdenas geometriska multiplicitet (båda är 3). Därför är matrisen diagonaliserbar. För att diagonalisera behöver vi bestämma matriserna och och för att göra det behöver tre linjärt oberoende egenvektorer som kan utgöra baser för respektive egenrum. Vi väljer
och resultatet av vår diagonalisering blir
Exempel på en ej diagonaliserbar matris
Låt
Dess karaktäristiska polynom blir då
vilket ger oss möjligheten att läsa av följande egenvärden och dess algebraiska multiplicitet
med algebraisk multiplicitet 1
med algebraisk multiplicitet 2
Med dessa egenvärden tar vi fram respektive egenrum, analogt med föregående exempel. Det ger oss att
Eftersom att vardera egenrum har dimension ett kan vi sammanfatta att egenvärdenas geometriska multiplicitet
med geometrisk multiplicitet 1
med geometrisk multiplicitet 1
Matrisen är följdaktigen inte diagonliserbar eftersom att summan av egenvärdenas geometriska multiplicitet är 2, vilket är mindre än summan av egenvärdenas algebraiska multipliciteten som är 3.
