Intro
Genom att använda den diskreta Fouriertransformen kan vi dra nytta av att representera digitala signaler i termer av frekvenser snarare än styrka vid olika tidpunkter. Transformationen tar därför en koordinatvektor i bas och skriver in den i bas.
Informationen i digitala signaler, såsom ljudfiler eller bilder, är kodad i variationen av signalens styrka över tiden. Genom att hitta frekvenserna som förklarar dessa variationer låter den diskreta Fouriertransformen oss justera signalen på olika sätt.
Som ett exempel kan tekniken hjälpa oss att ta bort bakgrundsljud från en ljudinspelning för att göra den mer skarp.
Det kan vidare användas för att komprimera en inspelning, genom att ta bort frekvenser som är för höga för att vara märkbara för det mänskliga örat.
Koncept
En koordinatvektor är i huvudsak samma objekt som vilken annan vektor som helst. Men termen låter oss veta att den representeras i en annan form än vi är vana vid.
Normalt skrivs en vektor i standardbasen, där den första komponenten i en vektor i 2D representerar dess längd i x-riktningen och den andra längden i y-riktningen.
Vi kunde istället välja två olika riktningar för att representera samma vektor i en annan bas . Genom att göra det konstruerar vi koordinatvektorn .
Summering
Antag att vi har en vektor , uttryckt i standardbasen , och vi vill representera den på en annan bas av .
För enkelhets skull, låt oss överväga fallet , där:
I basen skulle samma vektor skrivas som:
där och är basen i .
Denna basbyte kan uppnås genom multiplikation med överföringsmatris :
Faktum är att en överföringsmatris existerar från vilken bas som helst av samma delrum :
Koordinatvektor
En koordinatvektor är en vektor vars koordinater med avseende på annan bas. Namnet finns för att ge betoning på att vi hänvisar till en annan bas än till standardbasen. Notationen brukar se ut på följande sätt:
Låt vara en vektor i uttryckt i standardbasen och låt vara en bas till . Då noterar vi koordinatvektorn till uttryckt i basen som . Vi räknar ut den på följande sätt:
så att
Övergångsmatris
En övergångsmatris är kopplingen mellan två olika baser för samma underrum och vars multiplikation gör ett basbyte för en vektor. Multiplicerar man övergångsmatrisen med en koordinatvektor med avseende på första basen får man koordinatvektorn med avseende på den andra basen. Formellt sker följande:
Låt baserna
vara baser för underrummet och . Då noterar vi som övergångsmatrisen från basen till basen . Då har vi att
Vidare definierar vi övergångsmatrisens element på följande vis:
Övergångsmatrisen är även alltid inverterbar och vi har att:
