Intro
Albert Einstein skrev år 1935 i en artikel i New York Times, efter att ha hört sin vän Emmy Noether hade dött. I den artikeln finns följande citat.
Fräulein Noether var det mest betydande kreativa matematiska geni som hittills producerats sedan den högre utbildningen av kvinnor började.
Noether beskrev hur varje symmetri i ett fält som existerar kommer att resultera i en bevarandelag. Till exempel det faktum att vi har symmetri i tiden är därför vi har energibesparing. Denna idé är en av grunderna för matematik och fysik idag.
Emmy föddes som jude under nazisttiden i Tyskland och mycket av hennes arbete kritiserades enbart på grund av hennes kön och etnicitet. Men hennes arbeten gick inte till spillo och hennes akademiska bidrag till matte och fysik får mer och mer av det erkännande det förtjänar.
Koncept
Om du tilldelar en vektor för varje punkt i -planet får du ett vektorfält . Vektorfält är användbara för att beskriva fenomen som har en riktning och storlek.
Vindflödet är ett bra exempel, eftersom det har olika riktning och styrka beroende på var du befinner dig i världen.
På liknande sätt tilldelar ett skalärfält ett nummer till varje punkt i -planet. Temperaturen är ett bra exempel på ett skalärfält eftersom det varierar beroende på var du befinner dig i världen.
Summering
Som vi redan har sett finns det många tillämpningar av fält. Men för att verkligen förstå området måste vi titta på hur de fungerar på dimensioner. Vi kan först observera detta vektorfält:
Fältet kan uttryckas med följande funktion:
Observera att denna funktion är vektor och vi kan därför skriva att:
Om vi tittar på den skalära funktionen i föregående bild har vi en funktion på formen:
Observera att denna funktion är en skalär, och därför finner vi att:
Vektorfält
Detta är ett vektorfält:
Pilarnas riktning och längd indikerar fältets riktning och storlek vid den punkten.
Vektorfält kan till exempel beskriva vattenflödet vid ytan av ett badkar. Vid varje punkt berättar vektorfältet hur snabbt och mot vart vattnet rinner.
Om du skulle lägga en liten gummianka på vågorna, skulle ankan följa strömmarna vid ytan när den vacklar runt; den skulle följa pilarna.
Kom ihåg att vi pratade om vektorvärderade funktioner
Dessa tar in ett skalärt värde och spottar ut en vektor. Specifikt använde vi dem för att parametrisera kurvor.
När vi parametriserade ytor behandlade vi faktiskt vektorvärderade funktioner i två variabler, eller funktioner
De tog in två koordinater och gav oss tre, ytans koordinater.
Nu är ett vektorfält en funktion
Den associerar med varje punkt i planet en vektor. Denna vektor kan berätta för oss storleken och riktningen på fältet vid punkten.
Det finns också vektorfält
Att till exempel dra i pluggen i badkaret ger upphov till ett vektorfält i tre dimensioner vid vattenytan, som beskriver hur snabbt vattnet rinner.
Ett vektorfält i tre dimensioner kan skrivas så här:
där , och är enhetsvektorerna i .
Observera att sänkningarna indikerar att dessa är vektorkomponenter, inte att förväxla med partiella derivator.
I två dimensioner kan vi skriva fältet på detta sätt:
Vektorfält vi har berört
Vi har redan sett några vektorfält, även om vi inte uttryckligen har kallat dem så.
Till exempel associerar gradienten med varje punkt på en funktionsyta en vektor, som talar om för oss hur snabbt och mot var funktionen växer i punkten.
Gravitationsfältet kan också ringa en klocka. Det är det som håller jorden runt solen. Tyngdfältet pekar in mot solen, och magnituden är störst på själva solens yta.
Exempel
Titta på figuren nedan.
Det är en plot av vektorfältet:
Det kan också skrivas som:
eller:
Skalärfält
När du kommer hem från skolan får du plötsligt lust att rita en avbildning över ditt rum. Vem bryr sig om YouTube och sociala medier om du kan rita avbildningar över ditt rum? Du kommer att rita ditt rum från ovan, vilket ger ett slags fågelperspektiv.
I ditt rum varierar temperaturen. Det är något kallare nära fönstret och det är varmare nära kylaren. Du kan, om du vill, färga din avbildning blå och röd för att ange färgen.
Det är så du skulle visualisera ett skalärfält. Om du har en funktion som associerar varje punkt i planet med något värde, som temperaturen, kan du plotta det som ett skalärfält. Det är i princip bara ytterligare ett sätt att tänka på "vanliga" multivariabla funktioner. Istället för att rita en graf med -värdena kan du färglägga ditt -plan.
Exempel
Ta en titt på funktionen . Om du skulle rita det på "standard sätt" skulle du få något sånt här:
Men du kan också representera det som ett skalärfält. Här är vad du skulle få:
Fältlinjer
Kommer du ihåg Ducky, gummiankan i vårt badkar? Vi kunde spåra stigen längs med vilken Ducky färdas. Vägen beror uppenbarligen på vektorfältet, men också på var vi placerar Ducky.
Om vi placerar honom vid en given punkt kan han fångas i en ström och driva iväg åt vänster. Hade han haft ett annat utgångsläge hade han kanske hamnat någon annanstans.
Och om du också skulle skissa vektorfältet ovanpå, skulle du få den här typen av bild:
Den ormliknande linjen är vad som kallas en fältlinje. Lägg märke till hur fältlinjen tangerar vektorerna vid varje punkt. Fältlinjerna säger oss ingenting om storleken, men de ger oss riktningen vid varje punkt.
