Taylorutveckling

En Taylorutveckling av en funktion uttrycker den i termer av dess värde vid någon referenspunkt, och hur den förändras runt den punkten. För en funktion av flera variabler ges förändringshastigheterna av funktionens partiella derivator, och i princip behövs alla partiella derivator för att perfekt representera funktionen. Detta kan resultera i en oändlig summa, kallad en Taylor-serie.

Innehållsförteckning

    Intro

    Den mest grundläggande teorin om universum som människan känner till börjar med en låda och ett snöre. Ja ja jag vet att det låter ganska galet men låt mig förklara.

    Tänk dig att du har en låda på ett snöre och att du drar i lådan och sedan släpper den. Då kommer du att upptäcka att lådan börjar pendla fram och tillbaka.

    Matematiken för detta fenomen är mycket lätt att förstå. Med hjälp av Taylor-serier kan vi finna att oscillationskrafter kommer att bete sig så här om området är tillräckligt litet oavsett vad den verkliga kraften är.

    Detta fenomen används för att förklara delar av partikelfysik och kvantmekanik. Dessa teorier används för att förklara allt från hur ljus kan färdas i rymden, till varför atomer inte går sönder. Så om du vill förstå varför universum existerar kan du slå vad om att du vill förstå Taylor-serien.

    Taylor-serien har många fler applikationer inom områden som finans, biologi, medicin och kemi.

    Koncept

    Tillbaka i en envariabelanalys använde vi Taylors teorem för att approximera en funktion runt en given punkt, med hjälp av ett polynom. Tja, Taylors teorem för flera variabler gör precis samma sak.

    Taylorexpansion, approximerar funktioner som polynom, i en eller flera dimensioner på samma sätt

    Välj en punkt. Beräkna ett gäng derivator. Koppla in den i Taylor-formeln. Och voilà, det är ditt polynom.

    Tanken här är att approximationen och den ursprungliga funktionen har samma partiella derivator.

    Summering

    För att se ett exempel, låt oss approximera funktionen:

    med hjälp av en Taylor-expansion av ordningen två runt punkten .

    Formeln för runt en punkt är:

    Vi fortsätter genom att beräkna alla nödvändiga derivator:

    Slutligen är vår Taylor-uppskattning:

    Genom att ställa och kan vi ta en titt på hur approximationen ser ut nedan:

    Taylorutveckling

    Ibland stöter du på komplicerade funktioner, som . Jag vet inte om dig, men jag har ingen intuitiv känsla för hur den här saken beter sig. Jag menar, den innehåller två separata -termer. Det är den typen av funktion som kan ge dig mardrömmar.

    Men här är nyckeln: vi kan enkelt beräkna de partiella derivatorna, eller hur? De Partiella derivatorna hjälper oss att linda våra huvuden runt , åtminstone om vi zoomar in på ett litet område runt en given punkt. Egentligen är tangentplanet ett sätt att approximera en funktion. Tänk på skillnaderna! När du går längre från punkten ökar förändringen. Tangentplanet är dock inte en exakt approximation, eftersom det bara består av första ordningens termer.

    Men vi kan också dra på information om andra ordningens partiella derivator, vilket förbättrar vår approximation. Då skulle du få något liknande

    Om vi är nära punkten, där , blir termerna med högre ordning mindre. De spelar inte så stor roll.

    Vi kan i själva verket tillämpa samma resonemang på en funktion av mer än variabler, att få

    Exempel

    Hitta andra ordningens Taylor approximation av om punkten :

    funktionen har följande partiella derivator:

    notera att alla termer med en kommer att utvärderas till vid punkten , och att koppla in detta i formeln ger:

    vilket är funktionen vi kan se på bilden ovan.

    Innehållsförteckning
      Gillar du det vi gör? Hjälp oss och dela detta avsnitt.

      En matteapp som hjälper dig att lyckas

      Vissa använder Elevri som kompletterande material för sina studier. Andra använder bara Elevri. Vårt uppdrag är att inspirera, coacha och göra matematik tydlig.

      common:appPromoteSection.imageAlt

      Vissa använder Elevri som kompletterande material för sina studier. Andra använder bara Elevri. Vårt uppdrag är att inspirera, coacha och göra matematik tydlig.

      Apple logo
      Google logo
      © 2023 Elevri. All rights reserved.