Intro
Den mest grundläggande teorin om universum som människan känner till börjar med en låda och ett snöre. Ja ja jag vet att det låter ganska galet men låt mig förklara.
Tänk dig att du har en låda på ett snöre och att du drar i lådan och sedan släpper den. Då kommer du att upptäcka att lådan börjar pendla fram och tillbaka.
Matematiken för detta fenomen är mycket lätt att förstå. Med hjälp av Taylor-serier kan vi finna att oscillationskrafter kommer att bete sig så här om området är tillräckligt litet oavsett vad den verkliga kraften är.
Detta fenomen används för att förklara delar av partikelfysik och kvantmekanik. Dessa teorier används för att förklara allt från hur ljus kan färdas i rymden, till varför atomer inte går sönder. Så om du vill förstå varför universum existerar kan du slå vad om att du vill förstå Taylor-serien.
Taylor-serien har många fler applikationer inom områden som finans, biologi, medicin och kemi.
Koncept
Tillbaka i en envariabelanalys använde vi Taylors teorem för att approximera en funktion runt en given punkt, med hjälp av ett polynom. Tja, Taylors teorem för flera variabler gör precis samma sak.
Taylorexpansion, approximerar funktioner som polynom, i en eller flera dimensioner på samma sätt
Välj en punkt. Beräkna ett gäng derivator. Koppla in den i Taylor-formeln. Och voilà, det är ditt polynom.
Tanken här är att approximationen och den ursprungliga funktionen har samma partiella derivator.
Summering
För att se ett exempel, låt oss approximera funktionen:
med hjälp av en Taylor-expansion av ordningen två runt punkten .
Formeln för runt en punkt är:
Vi fortsätter genom att beräkna alla nödvändiga derivator:
Slutligen är vår Taylor-uppskattning:
Genom att ställa och kan vi ta en titt på hur approximationen ser ut nedan:
Taylorutveckling
Ibland stöter du på komplicerade funktioner, som . Jag vet inte om dig, men jag har ingen intuitiv känsla för hur den här saken beter sig. Jag menar, den innehåller två separata -termer. Det är den typen av funktion som kan ge dig mardrömmar.
Men här är nyckeln: vi kan enkelt beräkna de partiella derivatorna, eller hur? De Partiella derivatorna hjälper oss att linda våra huvuden runt , åtminstone om vi zoomar in på ett litet område runt en given punkt. Egentligen är tangentplanet ett sätt att approximera en funktion. Tänk på skillnaderna! När du går längre från punkten ökar förändringen. Tangentplanet är dock inte en exakt approximation, eftersom det bara består av första ordningens termer.
Men vi kan också dra på information om andra ordningens partiella derivator, vilket förbättrar vår approximation. Då skulle du få något liknande
Om vi är nära punkten, där , blir termerna med högre ordning mindre. De spelar inte så stor roll.
Vi kan i själva verket tillämpa samma resonemang på en funktion av mer än variabler, att få
Exempel
Hitta andra ordningens Taylor approximation av om punkten :
funktionen har följande partiella derivator:
notera att alla termer med en kommer att utvärderas till vid punkten , och att koppla in detta i formeln ger:
vilket är funktionen vi kan se på bilden ovan.
