Kurvor och parametrisering

Med hjälp av parametrisering kan vi beskriva nästan vilken kurva som helst. Detta gäller kurvor inte bara i utan även i .

Ta en titt på den här berg-och-dalbanan, snyggt insatt i :

Ortsvektorn är endast beroende av tiden , så vi kan skriva den som:

Detta är en parametrisering av kurvan med som parameter. Ortsvektorn för berg-och-dalbanan rör sig längs kurvan som beskrivs av rälsen med tiden.

Men kurvparametriseringen slutar inte där: vi kan använda vad som helst som parameter, beroende på vad som passar våra behov. Ofta är parametern en av , eller . Parametern behöver inte ha någon betydelse i den fysiska världen.

Dessutom kan samma kurva parametreras på oändliga sätt. Vi måste dock se till att använda rätt intervall för parametern. Intervallet beror på vilken parameter vi väljer.

För att klassificera kurvor använder vi ofta termerna sluten och enkel . Det kommer att vara användbart senare att veta vad detta betyder.

En sluten kurva har inga ändar. Det är en slinga. En enkel kurva skär sig inte. Om vi betraktar kurvorna nedan som liggande i så gäller följande:

Halvcirkeln:

kan parametriseras på till exempel två följande sätt:

För att se att dessa substitutioner är korrekta, ersätt komponenterna i parametriseringarna i halvcirkelns ekvation. Den första blir:

Den erhållna trigonometriska identiteten vet vi är sann, så den första parametriseringen gäller.

På samma sätt blir den andra parametriseringen sig själv när vi kopplar in den i ekvationen för att verifiera den:

Det mest utbredda sättet att visualisera jorden kallas Mercators projektion. Den tar varje punkt på jordens sfäriska yta och avbildningar den på ett plan.

Denna avbildning har egenskapen att varje punkt på planet motsvarar exakt en punkt på sfären. Det händer en viktig förvrängning när vi slår ihop linjerna från nord- till sydpolen, men det är fullt möjligt att rekonstruera den tredimensionella jordklotet från avbildning.

Med hjälp av ytparametrisering kan vi beskriva sådana transformationer. Även om jordens yta är helt kurvig är den fortfarande en yta. Detta betyder att i något koordinatsystem kommer denna yta att vara platt, och vi kan beskriva den med bara två koordinater.

Låt oss komma till saken.

Låt vara en kontinuerlig funktion definierad på någon rektangel i -planet, med följande koordinater i :

Att sedan plugga in alla -par i rektangeln i utgör ytan.

Således är ytan faktiskt intervallet .

En sidoanteckning för den nyfikna: definitionsmängden för behöver inte vara en rektangel. Den behöver bara ha ett väldefinierat område och bestå av en öppen mängd och dess randpunkter. Om detta förvirrar dig, glöm det bara för nu.

Det ser först stökigare ut, men ytparametriseringen fungerar på samma sätt som kurvparametriseringen. Skillnaden är att för kurvan behövde vi bara en variabel, eftersom en kurva är ett endimensionellt objekt.

Vi kan betrakta ytan som två grupper av kurvor, nämligen de som har ett fast värde för och , här kallade och :

Dessa linjer med olika värden för konstanterna är de linjer du kan se på ytorna i bilden nedan.

Som ett första exempel kommer vi att parametrisera sfärens yta. Ekvationen nedan är en kartesisk ekvation för en sfär:

Vårt mål är att skriva denna ekvation med två parametrar. Inte särskilt överraskande är sfäriska koordinater perfekta för denna uppgift. I sfäriska koordinater har vi:

Vi kan koppla in allt detta i ekvationen för att hitta vad kan vara:

I de två sista stegen använder vi trigonometriska identiteter. Vi ser nu att och därför är vår korrekta parametrisering av ytan:

I det andra exemplet kommer vi att undersöka en paraboloid. Vårt mål är att parametrisera ytan vars ekvation är:

Vi fortsätter enligt följande. Observera att nämnarna är kvadrater på respektive . Med detta använder vi och . Sedan kan vi isolera som en funktion av och .

Därefter skriver vi , och beroende på parametrarna:

För detta problem kunde vi också ha använt och som parameter. Men genom att introducera och kan vi förenkla vår ekvation. I mer avancerade problem kan den vara till stor hjälp.

På vintern i kalla länder fryser sjöarna om vi har tur. På de där frusna sjöarna kan du se väderbitna entusiaster åka skridskor kilometer efter kilometer.

För att testa tjockleken på isen när de strövar ut i det okända, använder de en pinne med en vass ände som kallas en isspik. När man trycker ner den i isen ser det ut som om isens yta "klipper av" toppen av den vassa spetsen.

Detta är vad vi menar när vi talar om skärning mellan ytor : isytan skär ytan av den konformade ispiggen.

I flervariabelanalys är vi ofta intresserade av att beskriva skärningspunkten mellan två geometriska former. Denna skärningspunkt består vanligtvis av en linje eller kurva. I det här exemplet här är skärningspunkten bara en cirkel.

Som med så många andra ämnen i matematik kommer det att bli uppenbart varför vi utför den här typen av beräkningar senare. Bara vänta och se.

Hitta skärningspunkten mellan sfären som definieras av:

och med planet:

För att hitta skärningspunkten mellan sfären isolerar vi först i vårt plan och finner att det är:

Därefter kopplar vi in till vår sfärekvation:

Nu delar vi först båda sidorna med tio och efter det använder vi metoden som heter att slutföra kvadraterna :

Med detta uttryck kan vi parametrisera och . Vi kommer att använda variabeln för parametriseringen, för att markera att vi inte använder sfäriska eller cylindriska koordinater.

Därefter kan vi hitta genom att använda det ursprungliga uttrycket för planet:

Det finns många konventioner om att skriva parametriseringen av en yta. Två andra vanliga är:

och: