Intro
Begreppet arbete är nyckeln i studiet av mekanik och elektromagnetism. Arbete är den mängd energi vi behöver lägga in för att flytta ett föremål längs en viss väg.
Men hur vet man hur mycket arbete vi behöver använda? Linjeintegraler, är svaret.
När vi bungyhoppar från en klippa tappar vi energi. Detta beror på att tyngdfältet gör arbete på oss och drar oss i fältets riktning.
När vi, alla höga på adrenalin och förmodligen illamående, dras upp igen, måste någon använda energi för att få oss tillbaka till perrongen. Mängden energi som behövs är densamma som den energi vi förlorade när vi hoppade.
Denna energi kan beräknas som en linjeintegral, där vi summerar dragkraften längs vägen vi följer, när vi dinglar från det elastiska bandet som sakta närmar oss plattformen igen efter hoppet.
Det här exemplet kommer från mekanik, men begreppet linjeintegraler dyker upp i all fysik!
Till exempel, när folket på NASA planerar banan för en satellit, måste de överväga arbete för att få den att stanna i omloppsbana runt jorden.
Koncept
Arbetet som utförs när en partikel färdas genom ett vektorfält beräknas med hjälp av en linjeintegral. Till exempel, det arbete du utför när du klättrar på en kulle beräknas med en linjeintegral, eftersom du färdas genom jordens gravitationsfält.
Ett annat exempel är när du trycker en bit järn mot en magnet. Här är vektorfältet det magnetiska fältet som genereras av magneten och du kan bokstavligen känna hur arbetet utförs.
Summering
Matematik har alltid mycket notation för att skriva ekvationer på ett vackert och effektivt sätt. Nedan kommer vi att introducera några nya notationer:
Där är vektorfältet och är en liten förändring på raden . Vi kan också skriva denna integral som:
I ovanstående är och vektorernas storlek i en punkt , och är de små förändringarna av vektorn komponenter i . En annan viktig symbol som också ser riktigt cool ut är följande:
Denna symbol betyder helt enkelt att vår kurva är en sluten slinga. Till exempel är kurvan nedan stängd men kurvan är inte stängd
Kurvintegraler över skalärfält
Vi använder linjeintegraler för att bestämma den totala mängden kvantitet längs en kurva, om vi känner till densiteten vid varje punkt av kurvan.
Du känner till de där videospelen, där du springer längs en stig och samlar guldmynt? Det är vad vi talar om.
Vi vill veta hur mycket guld vi får när vi springer från till längs vägen.
Att summera alla mynt längs banan är analogt med att ta linjeintegralen av en myntdensitetsfunktion längs banan. (Vi kan föreställa oss att luften längs stigen är full av små glänsande mynt, som bildar ett gyllene moln av varierande täthet...)
Egentligen har vi redan sett massor av linjeintegraler:
Detta är en linjeintegral: kurvan längs vilken vi integrerar är bara en rät linje från till .
Vi kan tänka oss funktionen som en linjetäthet associerad med varje punkt på -axeln. Sedan är integralen den totala kvantiteten av något är tätheten av.
Nu vill vi göra linjeintegraler längs kurvor i . Detta kan göras genom att använda vad vi vet om kurvparametrisering. Låt kurvan parametriseras av:
Vi måste kunna uttrycka ett litet segment av kurvan , i termer av och . Det är nödvändigt eftersom vi har uttryckt kurvan i termer av . För att tillåtas integreras behöver alltså längdelementet leva i samma koordinatutrymme som integranden.
Vi kommer att härleda uttrycket för för en kurva i . I blir detsamma som resultatet vi får nu, det är bara lite mer tungt att härleda.
Låt först ett litet segment längs linjen betecknas som . Sedan, med hjälp av Pythagoras sats får vi:
Om vi dividerar med får vi:
Således är kurvlängden:
där .
Detta är ett specialfall av linjeintegraler längs kurvan , med funktionsvärdet vid varje punkt är bara . Säg att vi tilldelar varje punkt på kurvan ett värde beroende på var på kurvan vi befinner oss:
Sedan, multiplicerar vi med ett litet linjesegment och summerar allt, får vi linjeintegralen av längs :
Observera att värdet på linjeintegralen är oberoende av parametrisering. Om vi vill kan vi byta till ett annat koordinatsystem; vi skulle fortfarande få samma värde av integralen.
Exempel 1
Beräkna följande linjeintegral:
were och är en linje från till .
Låt oss börja med att parametrisera raden som:
(Observera att integralen är densamma oavsett parametriseringen). Detta ger:
så integralen blir:
Exempel 2
Beräkna längden på kurvan parametriserad av:
Lösning: Längden på kurvan ges av integralen:
ges av:
Således:
Nu kan vi beräkna vår integral:
Kurvintegraler över vektorfält
Om vi låter en gummianka röra sig fritt vid ytan av ett badkar, beskrivet av ett vektorfält, kommer den att följa fältets riktning i varje punkt.
Som Aristoteles berömt hävdade, rör sig ingenting på jorden utan en förflyttare, och i det här fallet är den som flyttar fältet. Men hur mycket arbete görs av fältet när du flyttar ankan?
För dem som inte är så bekanta med fysik är arbete i denna mening en fysisk storhet mätt i joule som är relaterad till förändring i energi, och ges av den totala kraft som appliceras över en sträcka som förflyttas. För att svara på frågan vänder vi oss till linjeintegraler.
Linjeintegraler över vektorfält aggregerar fältstyrkan i den givna banans riktning
Endast fältets komponent längs vägen vi integrerar över bidrar, och om den är motsatt i riktningen är bidraget där negativt. Detta kommer inte att hända i naturen utan någon extern interaktion, som att vi flyttar ankan runt, och fältet gör ett negativt arbete.
Om vägen vi integrerar ett vektorfält över är en sluten slinga, vilket betyder att start- och slutpunkterna är desamma, får vi ett specialfall som kallas cirkulationen av runt , betecknad med:
Processen att parametrisera kurvan och hitta differentialen är densamma för vektorfält som för linjeintegraler över skalärfältet.
Men eftersom funktionen är vektorvärderad, och vi är intresserade av dess komponent längs integrationsvägen i varje punkt, tar integranden formen av en skalärprodukt mellan vektorfältet och enhetstangenten av kurvan:
Följaktligen ges linjeintegralen av över kurvan börjar på och slutar på av:
Exempel
Låt kraften som hävdas på ankan av vektorfältet vid varje punkt på ytan, mätt i meter, ges i Newton som:
Hur mycket arbete görs av fältet när ankan flyttas från till längs vägen som ges av ?
Lösning:
Kurvan i intervallet kan delas upp i två delar, parametriserade individuellt som:
ges sedan av:
Vidare blir vektorfältet i termer av :
Sedan utvärderas linjeintegralen till:
Därför blir svaret runt joule.
Ytintegraler
Kommer du ihåg hur integration över -axeln faktiskt var vår första linjeintegral? Den Dubbelintegralen som vi känner den är faktiskt en ytintegral, över en platt definitionsmängd i -planet:
Som i fallet med linjeintegralen kan vi se integranden för dubbelintegralen som en funktion som tilldelar en viss ytdensitet till varje punkt på ytan.
Ytdensitet är mängd per område. Så integralen blir den totala kvantiteten, eftersom vi multiplicerar vid varje punkt med en liten area , och summerar alla dessa kvantiteter genom integration.
Låt vara ytdensiteten, då är integralen över ytan den totala mängden.
För att beräkna en ytintegral över en yta med mer personlighet än den platta karlen i -planet, behöver vi parametrisering av ytan.
Kom ihåg att en yta är ett -dimensionellt objekt, vi kan beskriva det med två koordinater :
Nu måste vi skriva ytelementet i termer av och , för att ha och areaelementet i samma koordinatsystem.
Vi går tillväga så här: låt vara det lilla ytelementet som uppstår genom att ta ett litet steg i -riktningen och ett litet steg i riktning, från punkten .
Med hjälp av ytparametriseringen , de två tangentvektorer och är parallella med tangentplanet i punkten .
Eftersom vektorerna inte är parallella med varandra kan vi approximera som arean av parallellogrammet med sidorna och .
Om vi nu låter alla dessa -saker bli oändliga, får vi faktiskt en ekvivalens:
har samma area som parallellogrammet.
Denna parallellogramarea kan beräknas genom att ta det absoluta värdet av kryssprodukten mellan vektorerna som skapar den. Detta är den geometriska tolkningen av kryssprodukten. Alltså får vi:
Så det är vårt uttryck för . Om vi vill beräkna arean av en yta avgränsad av någon definitionsmängd i -planet, hitta dess motsvarande definitionsmängd i -planet. Sedan:
Detta kan betraktas som det speciella fallet där den ovannämnda ytdensiteten bara är . Om ytdensiteten varierar beroende på någon funktion
sedan multiplicerar vi ytelementen med denna funktion och får:
Som alltid är integralen oberoende av vilken parametrisering vi använder.
Orientering
Säg att vi har en parametriserad yta:
Vi kallar dess positiva sida den sida mot vilken dess normalvektor:
poäng. Sättet vi parametriserar på avgör alltså ytans orientering.
Om vi ändrar ordningen på parametriseringen ändras orienteringen också.
Vi väljer normalt att parametrisera slutna ytor så att det normalvektorn pekar ut från det.
Orienteringen av en yta inducerar en orientering av alla dess ränder.
randen orientering ges av högerhandsregeln: peka med tummen på din högra hand i riktning normalvektorn.
Därefter definieras orienteringen av randen som riktningen på dina fingrar.
Flödesintegral
Fluxintegraler är till för att beräkna hur mycket flöde som går genom en yta.
Flux finns överallt. Till exempel har vattnet som rinner genom en brandslang ett flux. Ytan i detta fall är slangens tvärsnitt.
Detta belyser en viktig punkt: Ytan vi talar om är imaginär . Det är inte en vägg eller ett filter som blockerar flödet. Det är bara "området" genom vilket vi vill veta flödet.
Fluxintegralen för ett vektorfält ser ut så här:
Den geometriska tolkningen av denna skalärprodukt är projektionen av fältet på normalvektorn på ytan .
Om vi föreställer oss att dela i en komponent parallell med ytan och en vinkelrät mot den, blir den vinkelräta komponenten den som flyter genom ytan. Och det är samma sak som vi får när vi projicerar på normalvektorn.
Detta är anledningen till varför vi har skalärprodukten i integralen.
Observera att . Om normalvektor inte är given kan vi hitta den genom att kryssprodukten av de partiella derivatan med avseende på parametrarna.
Om ytan är parametriserad av:
då är normalvektorn :
Exempel
Vatten strömmar med konstant hastighet genom ett rör med en tvärsnittsarea på . Vattenflödet (längd per tidsenhet) beskrivs av vektorfältet
och rörets vägg ges av:
Hur mycket vatten rinner genom röret?
Vattenflödet genom röret är volymen vatten som strömmar genom ett tvärsnitt per sekund och ges av följande flödesintegral:
Röret kan ses som en cylinder och tvärsnittet som en cirkel. Tvärsnittet kan parametreras med cylindriska koordinater på följande sätt:
Normalvektorn för tvärsnittet är . Integralen blir:
När vi utvärderar skalärprodukten i integralen före integration får vi ett skalärt värde som resultat. Det spelar alltså ingen roll att vi faktiskt skrev vektorfältet och normalvektor med hjälp av de kartesiska , och -koordinaterna, och inte cylindriska koordinater.
