Jacobi

Den Jacobis matrisen är en matris med alla partiella derivatorna av en vektorvärderad funktion av flera variabler. Vi kommer att bygga upp en förståelse för varför vi behöver det och vad det är i det här avsnittet.

Vi börjar med ett exempel. Betrakta transformationen från kartesiska till polära koordinater i :

Vad händer med och , om vi ändrar och lite?

En liten förändring bör få dig att tänka: derivata! och det är precis det verktyg vi kommer att använda.

Eftersom både och beror på både och får vi fyra partiella derivator. Precis som och är vinkelräta, så är enhetsvektorerna och . Så vi delar upp förändringen i två delar. Först, hur och ändras när vi gör en liten ändring i , sedan när vi ändrar .

Den totala förändringen i är då , och analogt för .

Det här diagrammet visar hur och påverkas av ett litet steg i :

Titta på den lilla triangeln med som hypotenusan. Från trigonometri vet vi att den extra delen vi behöver lägga till är , det vill säga:

Och för måste vi lägga till , så:

Det ger partiella derivatorna med avseende på :

Vad händer nu när vi ökar med det lilla steget ? Kom ihåg omkretsen av en cirkel: . Om vi bara vill ha en del av omkretsen ersätter vi med vinkeln i formeln.
Så båglängden för den lilla cirkeldelen som skapas genom att öka med är .

Om är mycket liten är det ungefär en rät linje, som i denna graf:

Med som en linje får vi ytterligare en liten triangel. Denna triangel är enhetlig med triangeln med som hypotenusa och vinkeln . Med hjälp av trigonometriska regler får vi alltså:

och:

Detta ger partiella derivatorna med avseende på :

Observera att minustecknet kommer från att vi minskar , när vi ökar .

Sammanfattningsvis är den totala förändringen i och alla partiella derivatorna, som kan visualiseras i matrisform så här:

Det är den Jacobis matrisen för koordinattransformationen från kartesiska till polära koordinater.

Vi har sett att gradienten för multivariabla funktioner:

spelar samma roll som derivatan gör för enstaka variabelfunktioner.
Vad händer om vi har en vektorvärderad funktion ? När man skriver ut det ser det ut så här:

Eftersom varje komponent i vektorfunktionen är en funktion , kommer varje att ha partiella derivator:

Om vi sätter alla partiella derivatorna för alla , får vi den Jacobis matris :

Liksom derivatan och gradienten kommer den Jacobis matrisen att vara avgörande för att undersöka funktioner lokalt.

Lägg märke till att vi kan se koordinattransformationen i exemplet ovan som en vektorvärderad funktion: den tar in en vektor, de två koordinaterna och , och returnerar en annan vektor, bestående av och .

Vanliga sätt att beteckna den Jacobis matrisen är:

Kom ihåg att vi kan använda differentialer för att approximera förändringen av en funktion vid en punkt. För en funktion är detta skillnaden i funktionsvärde, eftersom vi tar ett litet steg :

Differentialen approximerar denna skillnad, och den ser ut så här:

Vi kan också skriva summan i denna form, vilket är exakt samma sak:

Nu är varje komponent i den Jacobis matrisen funktioner av -variabler precis som . Så vektorskillnaden kan approximeras med:

Detta är differentialen för en vektorvärderad funktion. Det är en vektor, där varje komponent ser ut som differentialen för en funktional av -variabler.

Determinanten är en skalär som relaterar till en matris . Vi betecknar det som:

Konceptet introduceras mer grundligt i en kurs i linjär algebra, och om du är bekväm med det, hoppa gärna över detta avsnitt.

Om du inte har sett den tidigare, eller känner att du behöver en uppfräschning, kommer här en kort sammanfattning.

Determinanten tolkas geometriskt som skalfaktorn för en linjär transformation.

Kort sagt är varje matrismultiplikation en linjär transformation, men ur ett praktiskt perspektiv kan man säga att en linjär transformation är en matris som multiplicerar med en vektor för att få ett önskat resultat.

Ett enkelt exempel skulle vara en linjär transformation som roterar medurs med vinkeln och fördubblar sin längd. Då skulle skalfaktorn, det vill säga determinanten, för vara .

Definitionen av determinanten för en -matris utgör basen för att beräkna determinanten för en -matris.

Vi låter:

varpå definitionen av determinanten är:

Algoritmen för att beräkna determinanten för en -matris görs med hjälp av summan av tre -determinanter. Vi producerar dessa genom att expandera en enda rad, eller kolumn, i determinanten (kallad kofaktorexpansion ).

Vi låter:

och då gäller det att determinanten för är:

där vi har gjort en radexpansion av den första raden, eftersom skalärerna för varje -matris bara är elementen från den första raden.

Nu går vi igenom hur utbyggnaden går till.

Tänk på determinanten för :

Vi börjar med att expandera längs den första raden och börjar med det första elementet :

Expansionen sker sedan genom att välja raden och kolumnen för det aktuella elementet för att extrahera de återstående elementen som en -determinant multiplicerad med :

Vi går vidare till nästa element längs den första raden, , och får:

Observera att expansionen runt kommer med ett minustecken! Vi återkommer till det inom kort.

Nu fortsätter vi med nästa och sista element att expandera: .

Observera att elementet kommer med ett plustecken!

Vi avslutar nu beräkningen med definitionen av -determinanten:

Vilket avslutar formeln för -determinanten, samt algoritmen som gör definitionen lätt att komma ihåg istället för att lära sig formeln utantill.

Metoden ovan kan enkelt utökas analogt till större matriser, varför vi började med den.

Det finns dock en alternativ algoritm som gäller för -determinanten, som visuellt liknar definitionen av -determinanten:

Om vi utökar detta tänkesätt får vi en metod som fungerar, men som bara fungerar för att beräkna -determinanter. Metoden kallas Sarrus regel .

Kommer du ihåg determinanten? Determinanten var denna sak som, för en stor matris, tog evigheter att beräkna. Determinanten är skalningsfaktorn för den linjära transformationen.

I flervariabelanalys har vi ofta att göra med förändringar av variabler som är icke-linjära transformationer. Men nära en given punkt kan du ungefär approximera funktionen med en linjär transformation. Och exakt vid punkten är den linjära approximationen lika med dess approximation. Transformationsmatrisen visar sig vara Jacobis determinanten.

Jacobis determinanten är, som du borde ha gissat, den avgörande faktorn för den Jacobis matrisen. Det är skalningsfaktorn vi behöver för att relatera koordinatsystemen i en förändring av variabler. Det ser till att den beräkning vi gör stämmer överens med varandra, oavsett vilket system vi befinner oss i.

Låt oss nu se Jacobis determinanten i aktion.

Den Jacobis matrisen till följande transformation

ges av:

Den Jacobis determinanten ges av:

När vi introducerade den Jacobis matrisen såg vi att den kan användas som ett verktyg för att konvertera mellan variabler i olika koordinatsystem. I så fall mellan Kartesiska koordinater och polära .

Senare studerade vi bestämningsfaktorn för den Jacobis matrisen, eller den Jacobis determinant för kort. Där noterade vi att det ger ett mått på skalningen involverad i den linjära transformationen som en förändring av variabler motsvarar.

I det här avsnittet kommer vi att sätta ihop två och två och se hur Jacobis determinanten hjälper oss att relatera areaförändringen för små steg i ett koordinatsystem, till areaförändringen i ett annat koordinatsystem.

Låt oss återgå till den variabla förändringen från kartesiska till polära koordinater som erhålls av denna Jacobis matris:

När vi minns hur vi beräknar determinanter av matriser, beräknar vi Jacobis determinanten som:

Låt beteckna arean som erhålls genom att betrakta de oändliga avstånden och som basen och höjden av en rektangel i -planet:

Låt vidare representera ett liknande område, vilket är ett resultat av oändliga förändringar och i variablerna för det polära koordinatsystemet. Det är inte lika tydligt vad formeln för området är i det här fallet.

Vi kommer inte att ge beviset för det här, men det visar sig att krökningen av bågen med längd är försumbar för så korta avstånd. Vi kan därför ta det som en rak linje, vilket gör formen till en rektangel, och vi har:

Vad detta betyder är att för oändliga steg, lika stora, är areaförändringen i polära koordinater gånger så stor. Detta är i huvudsak vad som menas med en skalningsfaktor . Vi har alltså en intuitiv uppfattning om varför Jacobis determinanten relaterade till denna variabeländring visade sig vara just .

De relativa storlekarna på förändringen i arean på grund av förändringar i variabler för olika koordinatsystem är avgörande vid utvärdering av integraler av funktioner i flera dimensioner.

Även i de enklaste fallen av dubbelintegralen, som du kanske inte har stött på ännu men säkert kommer snart nog, är förändringen av variabler en användbar teknik.

I sådana integraler tar integranden formen av en differentialarea , och det är viktigt att göra rätt substitution

för att få rätt svar.