Intro
Inom termodynamiken är ett av de mest intressanta fynden punkten som vi kallar triplettpunkten. Vid triplettpunkten kommer ett givet material att vara en vätska, gas och fast material. Materialet kommer snabbt, som en explosion, att koka och sedan på en sekund förändras till att bli en vätska. Reaktionen kommer okontrollerat att skifta fram och tillbaka. (Vi rekommenderar verkligen att du kollar in en video om detta, vissa är riktigt galna)
För att förstå detta fenomen utanför vår förståelse måste vi göra matematiska modeller och den matematiska modellen vi använder för att förstå triplettpunkter måste använda vad vi kallar implicit funktion.
Koncept
En implicit funktion är vad du får när vi inte kan använda vanliga funktioner. En vanlig funktion omvandlar alla till en unik . Om detta inte är sant behöver vi implicita funktioner. För fallet med triplettpunkten har vi detta exakta fall, en specifik kombination av temperatur och tryck ger tre möjliga tillstånd vätska, fast och gas.
Detta specifika resultat kan delvis förklaras med den ideala gaslagen som säger att:
Här är tryck, är en volym, och kan för vårt exempel betraktas som konstanta och är temperatur. De tre variablerna är beroende av varandra och är en implicit relation. Man kan se att om till exempel är konstant så måste stiga som gör, detta är en av ledtrådarna till varför en triplettpunkt existerar.
Summering
En implicit funktion är en funktion som är implicit definierad i en ekvation, det vill säga vi måste lösa för i ekvationen. Ett exempel på detta är ekvationen för enhetscirkeln
definierar enhetscirkeln, men bara implicit, eftersom vi måste lösa den. För vissa ekvationer kanske det inte ens går att lösa för alls.
Även om vi inte kan lösa i dessa ekvationer, säger den satsen om implicita funktioner att fortfarande definierar en funktion, givet att vissa villkor är uppfyllda.
Implicita funktioner
Med tanke på följande ekvation:
Detta är dess graf:
Vi kommer att ha en svår tid om vi försöker skilja från resten för att skriva ekvationen som en explicit funktion .
Titta på grafen ovan. Till vänster om punkten som anges på den övre kurvan representerar grafen inte en funktion : kom ihåg att för att det ska vara en funktion kan det bara finnas ett -värde för varje indata .
Men till höger om punkten ser grafen misstänkt funktionslik ut. Där säger vi att implicit definierar en funktion . Faktum är att även om någon ekvation inte är en funktion på hela sin definitionsmängd, kan den ofta betraktas som en lokalt .
Exempel 1: enhetscirkeln
Detta är ekvationen för enhetscirkeln:
När vi försöker isolera får vi:
Vi kan inte uttrycka enhetscirkelekvationen som en funktion på hela dess definitionsmängd. Problemet är att för varje , finns det två -värden.
Lokalt kan vi dock nästan överallt tolka ekvationen som en funktion , genom att begränsa definitionsmängden för till ett område runt platsen av intresse.
Det finns bara punkter där vi inte kan definiera lokalt: vid och . Lägg märke till att dessa är de två punkterna där och gradienten är horisontell.
En sidoanteckning: lägg märke till att vi sa definitionsmängden . Definitionsmängden består av par av punkter. Egentligen är en nivåkurva för funktionen i två variabler. Dess definitionsmängd består alltså av par av punkter.
Ibland kanske vi istället vill parametrisera kurvan med som variabel. Då skulle vi ha . Allt vi skulle vilja göra med ta-funktionen för kan göras med den här funktionen , vi måste bara vara noga med att implementera denna namnändring i allt vi gör.
I enhetscirkelfallet skulle vi kunna definiera cirkeln som en funktion av lokalt överallt utom vid och istället. Där har vi . Detta är ingen slump, och att ha detta i åtanke kommer att vara till hjälp snart, eftersom vi pratar om den satsen om implicita funktioner.
Exempel 2: enhetssfären
I högre dimensioner fungerar implicita funktioner på liknande sätt.
Låt oss titta på enhetssfären, som faktiskt är en plan yta till :
Lägg märke till att det finns två värden för vid varje punkt , . Däremot kan vi betrakta sfären som en funktionsyta lokalt, om vi begränsar mängden punkter i definitionsmängden för till att ligga nära punkten vi tittar på.
De enda platser där vi inte kan låta implicit definiera en funktion är runt sfärens ekvator. Där är .
Implicit derivata
Anta att du har någon form av ekvation, som något ännu värre . Som det visar sig kan den här saken definiera en funktion. Åtminstone om man zoomar in på ett visst intervall, där punkterna utgör en funktionsgraf. Jag menar, hur snyggt är inte det? Det är en implicit funktion , just där.
Tillbaka i en envariabelanalys vi oss med enhetscirkeln, . Sedan sa vi åt dig att ta derivatan av vänster och höger sida med avseende på , och lösa för . Det skulle ge dig lutningen på tangenten vid den punkten.
Men verkade det inte slumpmässigt? Vem kom på idén att bara särskilja den vänstra sidan och sedan särskilja den högra?
Flervariabelanalys lämpar sig för en alternativ förklaring. Du kan i princip behandla vänster sida som en nivåkurva, . Antag nu att kan skrivas som en funktion . Låt oss gå vidare och ta den partiella derivatan med avseende på , alltså
Eftersom det är en nivåkurva nivåkurva ändras den uppenbarligen inte, och därför är derivatan . Sedan kan du lösa för och få samma resultat som tidigare: . Och ja, lägg märke till att . Här kräver vi att .
Exempel
Metoden som diskuterats ovan är lätt generaliserad till en funktion . Vi kommer att göra detta i följande exempel
Hitta följande partiella derivator vid och , vid punkten . Först definierar vi:
Sedan mängd vi :
Därför finner vi att:
Samma argument kan användas på :
Därefter beräknar vi alla partiella derivatorna:
Därefter använder vi punkten :
Implicita funktionssatsen
Vi kommer här att samla informationen som vi har kastat ut i de tidigare anteckningarna om implicita funktioner.
Kom ihåg att vi sa att om är någon nivåkurva, så definierar den ofta implicit en funktion lokalt. Detta fungerar bra om och bara om gradienten vid punkten inte är parallell med -axeln, eller, på motsvarande sätt, att .
Sedan, med hjälp av kedjeregeln på , hittade vi derivatan för :
När vi studerar den formeln ser vi att om har en vertikal tangentlinje. Detta skulle innebära att inte är en funktion av , eftersom det skulle finnas flera funktionsvärden för samma .
Ovanstående fakta utgör kärnan i den satsen om implicita funktioner :
Låt vara en differentierbar funktion och en punkt på de nivåkurvorna . Om
det finns en öppen definitionsmängd till så att begränsningen av på de nivåkurvorna implicit definierar en differentierbar funktion . Derivatan av denna funktion är:
Observera att vi kan vända och runt och definiera en implicit funktion . Då är kravet .
Det finns versioner av detta teorem för högre dimensioner också. I synnerhet tillståndet
är tillräckligt för att vi ska kunna betrakta den plana ytan som en funktionsyta
Den geometriska tolkningen av detta är att om , tangentplanet till i punkten är inte vinkelrät mot -planet. Det är precis vad vi behöver för en funktionsyta .
De Partiella derivatorna av den implicita funktionen är:
Liksom i den första versionen av satsen kan vi utbyta variablerna. Till exempel är ett tillräckligt kriterium för att kunna betrakta som en funktion runt .
Exempel
Använd den satsen om implicita funktioner för att visa att vi inte kan anta att kurvan kan parametriseras med vid
För att bevisa påståendet ovan kan vi använda den satsen om implicita funktioner. Den satsen om implicita funktioner fungerar på alla variabler i det implicita uttrycket . Vi måste bara se till att kontrollera den rätta partiell derivata av . Därför räknar vi
Med vår poäng ser vi det
Därför kan vi inte vara säkra på att kurvan kan parametriseras runt punkten.