Implicita funktioner

Med tanke på följande ekvation:

Detta är dess graf:

Vi kommer att ha en svår tid om vi försöker skilja från resten för att skriva ekvationen som en explicit funktion .

Titta på grafen ovan. Till vänster om punkten som anges på den övre kurvan representerar grafen inte en funktion : kom ihåg att för att det ska vara en funktion kan det bara finnas ett -värde för varje indata .

Men till höger om punkten ser grafen misstänkt funktionslik ut. Där säger vi att implicit definierar en funktion . Faktum är att även om någon ekvation inte är en funktion på hela sin definitionsmängd, kan den ofta betraktas som en lokalt .

Detta är ekvationen för enhetscirkeln:

När vi försöker isolera får vi:

Vi kan inte uttrycka enhetscirkelekvationen som en funktion på hela dess definitionsmängd. Problemet är att för varje , finns det två -värden.

Lokalt kan vi dock nästan överallt tolka ekvationen som en funktion , genom att begränsa definitionsmängden för till ett område runt platsen av intresse.

Det finns bara punkter där vi inte kan definiera lokalt: vid och . Lägg märke till att dessa är de två punkterna där och gradienten är horisontell.

En sidoanteckning: lägg märke till att vi sa definitionsmängden . Definitionsmängden består av par av punkter. Egentligen är en nivåkurva för funktionen i två variabler. Dess definitionsmängd består alltså av par av punkter.

Ibland kanske vi istället vill parametrisera kurvan med som variabel. Då skulle vi ha . Allt vi skulle vilja göra med ta-funktionen för kan göras med den här funktionen , vi måste bara vara noga med att implementera denna namnändring i allt vi gör.

I enhetscirkelfallet skulle vi kunna definiera cirkeln som en funktion av lokalt överallt utom vid och istället. Där har vi . Detta är ingen slump, och att ha detta i åtanke kommer att vara till hjälp snart, eftersom vi pratar om den satsen om implicita funktioner.

I högre dimensioner fungerar implicita funktioner på liknande sätt.

Låt oss titta på enhetssfären, som faktiskt är en plan yta till :

Lägg märke till att det finns två värden för vid varje punkt , . Däremot kan vi betrakta sfären som en funktionsyta lokalt, om vi begränsar mängden punkter i definitionsmängden för till att ligga nära punkten vi tittar på.

De enda platser där vi inte kan låta implicit definiera en funktion är runt sfärens ekvator. Där är .

Anta att du har någon form av ekvation, som något ännu värre . Som det visar sig kan den här saken definiera en funktion. Åtminstone om man zoomar in på ett visst intervall, där punkterna utgör en funktionsgraf. Jag menar, hur snyggt är inte det? Det är en implicit funktion , just där.

Tillbaka i en envariabelanalys vi oss med enhetscirkeln, . Sedan sa vi åt dig att ta derivatan av vänster och höger sida med avseende på , och lösa för . Det skulle ge dig lutningen på tangenten vid den punkten.

Men verkade det inte slumpmässigt? Vem kom på idén att bara särskilja den vänstra sidan och sedan särskilja den högra?

Flervariabelanalys lämpar sig för en alternativ förklaring. Du kan i princip behandla vänster sida som en nivåkurva, . Antag nu att kan skrivas som en funktion . Låt oss gå vidare och ta den partiella derivatan med avseende på , alltså

Eftersom det är en nivåkurva nivåkurva ändras den uppenbarligen inte, och därför är derivatan . Sedan kan du lösa för och få samma resultat som tidigare: . Och ja, lägg märke till att . Här kräver vi att .

Metoden som diskuterats ovan är lätt generaliserad till en funktion . Vi kommer att göra detta i följande exempel

Hitta följande partiella derivator vid och , vid punkten . Först definierar vi:

Sedan mängd vi :

Därför finner vi att:

Samma argument kan användas på :

Därefter beräknar vi alla partiella derivatorna:

Därefter använder vi punkten :

Vi kommer här att samla informationen som vi har kastat ut i de tidigare anteckningarna om implicita funktioner.

Kom ihåg att vi sa att om är någon nivåkurva, så definierar den ofta implicit en funktion lokalt. Detta fungerar bra om och bara om gradienten vid punkten inte är parallell med -axeln, eller, på motsvarande sätt, att .

Sedan, med hjälp av kedjeregeln på , hittade vi derivatan för :

När vi studerar den formeln ser vi att om har en vertikal tangentlinje. Detta skulle innebära att inte är en funktion av , eftersom det skulle finnas flera funktionsvärden för samma .

Ovanstående fakta utgör kärnan i den satsen om implicita funktioner :

Observera att vi kan vända och runt och definiera en implicit funktion . Då är kravet .

Det finns versioner av detta teorem för högre dimensioner också. I synnerhet tillståndet

är tillräckligt för att vi ska kunna betrakta den plana ytan som en funktionsyta

Den geometriska tolkningen av detta är att om , tangentplanet till i punkten är inte vinkelrät mot -planet. Det är precis vad vi behöver för en funktionsyta .

De Partiella derivatorna av den implicita funktionen är:

Liksom i den första versionen av satsen kan vi utbyta variablerna. Till exempel är ett tillräckligt kriterium för att kunna betrakta som en funktion runt .

Använd den satsen om implicita funktioner för att visa att vi inte kan anta att kurvan kan parametriseras med vid

För att bevisa påståendet ovan kan vi använda den satsen om implicita funktioner. Den satsen om implicita funktioner fungerar på alla variabler i det implicita uttrycket . Vi måste bara se till att kontrollera den rätta partiell derivata av . Därför räknar vi

Med vår poäng ser vi det

Därför kan vi inte vara säkra på att kurvan kan parametriseras runt punkten.