Gränsvärden och kontinuitet

Begreppet gränsvärden i flervariabelanalys är bara den flerdimensionella versionen av gränsvärden i en variabel. Men den här gången kommer vi att vara mer rigorösa. Vi stannar vid funktioner av två variabler, men definitionen generaliserar till högre dimensioner.

Först introducerar vi vad vi kallar en omgivning. En omgivning av en punkt i är en mängd:

för några .

I -planet är en punkts omgivningen en liten skiva runt punkten.

Definitionen av ett gränsvärde i flervariabelanalys har två delar.

Vi har här introducerat två variabler som kallas och . De förekommer i många definitioner med samma betydelse som här, så läs detta noggrant. Vi går igenom del av definitionen steg för steg.

Vi börjar med att skapa de två variablerna och .

Därefter väljer vi ett område runt gränsvärdet på -axeln, . Denna region bildar något som ser ut som en platt smörgås med som bröd och som pålägg.

Sedan kan vi med -regionen definiera en region med som radie i -planet, runt punkten . Denna region måste vara sådan att alla värden inklusive i regionen mappas till -värden i -regionen.

Det sista steget är att säga att vi kan hitta -värden godtyckligt nära värdet , genom att endast använda punkter som ligger inuti en tillräckligt liten region centrerad kring .

Ta nu ett andetag och läs definitionen igen.

Nu några praktiska aspekter. Kom ihåg hur vi i en envariabelanalys sa att gränsvärdet endast existerade om höger och vänstergränsvärde var samma. Den andra delen av definitionen innebär att nu när vi är i tre dimensioner, för att gränsvärdet ska existera måste den vara densamma oavsett hur vi väljer att närma oss punkten .

Gränsvärdet finns bara om vi går längs någon kurva i funktionens definitionsmängden mot punkten, vi hamnar alltid på .

Grafen nedan visar ett plan med en oändligt tunn (endimensionell) linje utskuren. När vi närmar oss punkten längs den linjen har vi inga problem.

Men när vi försöker närma oss längs en linje parallell med -axeln, kommer vi inte att hitta eftersom går till , eftersom linjen är oändligt tunn: vi var tvungna att börja resan i det nedre planet, och vi kan inte bara hoppa upp till linjen därifrån. gränsvärdet vid existerar alltså inte.

Slutligen, dessa är några lagar för att kombinera gränsvärde.

Säg att vi har följande:

och:

och varje omgivning av unionen av definitionsmängderna och innehåller andra punkter än , då:
1)

2)

3)

4)
och om är kontinuerlig vid t = L

Som diskuterades när vi introducerades till multivariabla gränsvärden,

endast om närmar sig när närmar sig längs någon kurva i funktionens definitionsmängden .

Nu är problemet med detta att det kan finnas oändligt många sådana kurvor.

Till skillnad från gränsvärden i en variabel, där vi bara behövde kontrollera de två fallen där vi närmar oss en punkt uppifrån och underifrån, finns det ingen garanti för att vi kan dela upp processen i ett ändligt antal fall.

I ljuset av det möjligen oändliga antalet kurvor, om vi har skäl att tro att gränsvärdet inte finns, brukar vi börja där.

Allt som krävs är två kurvor för vilka närmar sig olika värden när vi går längs dem mot en punkt, och ingen gränsvärde kommer att finnas i punkten.

Alternativt, en kurva längs vilken närmar sig punkten inte resulterar i ett ändligt värde för:

skulle också räcka.

Vi vill utvärdera följande gränsvärde:

Kontrollera gränsvärdet längs alla raderna :

Kontrollera gränsvärdet längs kurvan :

Därför finns inte gränsvärdet .

Om vi misslyckas med att bevisa att gränsvärdet inte finns, har vi tyvärr inte en universell metod som alltid kommer att arbeta för att hitta gränsvärdet. Det finns dock några standardprocedurer:

I vissa fall kan det omedelbart ge gränsvärdet vi är ute efter att koppla in för och för .

Som ett exempel:

Ibland kan vi gå från en multivariabel gränsvärde till en enda variabel genom att göra ett variabelbyte.

Titta på denna gränsvärde:

I det här fallet kan vi byta ut en mot :

Detta är nu ett gränsvärde i endast en variabel, där kvoten tenderar till som , och vi kan lösa det med hjälp av L'Hopitals regel:

Vissa gränsvärden utvärderas lättare om vi först konverterar representationen av punkten från Kartesiska koordinater till polär form .

Till exempel:

Nu eftersom har försvunnit från uttrycket, kan det anta vilket värde som helst för vilken som helst, så gränsvärdet existerar inte!

Instängningssatsen är inte begränsad till funktioner för en variabel, så en annan metod som kan hjälpa oss är att stänga uttrycket mellan två gränsvärden som vi vet är lika.

Ta en titt på detta exempel:

där vi kan använda Instängningssatsen för att beräkna gränsvärdet som:

Därför är gränsvärdet .

En sista teknik vi kan använda är att använda definitionen av en multivariabel gränsvärde. Eftersom definitionen är ganska teknisk är denna metod lite komplicerad. Oroa dig inte för att inte se det tydligt när du läser exemplet för första gången.

Detta kommer att användas för att bevisa att:

Eftersom har vi:

På liknande sätt, genom :

Genom att kombinera dem får vi:

Låt nu vara ett positivt tal, och använd . Sedan av ojämlikheten ovan:

närhelst:

som enligt definitionen bevisar att den multivariabla gränsvärde är .

Ah, kontinuitet!

Matematiker är besatta av idén om kontinuitet. Det är nästan som om det fanns en kult av kontinuitet. Detta beror på att kontinuerliga funktioner har många önskvärda egenskaper.

Grovt sett är en funktion i flera variabler kontinuerlig om grafen ser ut som ett elastiskt tygstycke. Inga hål, inga överraskningar.

Detta innebär att:

Vi säger att en funktion är kontinuerlig som helhet om den är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.

Här är ett roligt faktum: om du leker med två kontinuerliga funktioner; addera, subtrahera, multiplicera, dividera, blir resultatet en kontinuerlig funktion.