Intro
Geometri är ett av de äldsta områdena inom matematik. Det är lätt att föreställa sig människor som klottrar geometriska former i sanden medan vi strövade omkring på jorden i forna tider.
Geometri handlar om former, avståndsposition, storlekar, etc. Det är vårt sätt att förstå den naturliga världen. Geometri betyder bokstavligen "jordmätning".
Det finns otaliga tillämpningar av geometri. Till exempel inom datorgrafik, CAD-program, teknik mm.
Koncept
Tillbaka i envariabelanalys behandlade vi mest kurvor och linjer i två dimensioner med -planet.
I flervariabelanalys där vi introducerar den nya variabeln blir de gamla kurvorna och linjerna plan och ytor i -rymden.
Några exempel är:
Summering
Inom matematik och fysik sysslar vi ofta med vektorer. Vektorer är som du vet som en lista med siffror. Vi kan addera vektorer och subtrahera vektorer, vi kan också multiplicera vektorer med ett tal. Men det finns ytterligare två operatörer vi kan använda med vektorer. Dessa två kallas skalär- och kryssprodukt.
Den skalära produkten " " mellan två vektorer i beräknas enligt nedan:
Kryssprodukten beräknas enligt följande:
Kvadratiska ytor
När du studerar flervariabelanalys måste du rita massor av läckra 3D-former. Lägg till lite färger här och där så blir dina matteanteckningar riktigt snygga.
I flervariabelanalys kommer du att stöta på ekvationer som:
Du kanske kan faktorisera det hela, som:
i så fall består grafen av ett par plan.
Men låt oss anta att det inte är fallet. Det är roligare.
Om har du en cylinder. Detta illustreras av grafen till vänster nedan.
Du kan ha , som i grafen till höger. Även denna tillhör cylinderfamiljen, och den kallas en parabolcylinder.
Ekvationer som resulterar i en kon. Se grafen till vänster nedan. Om vi använder , får vi en sfär, som i grafen till höger.
Låt oss gå vidare till paraboloiden.
Det finns två versioner som ser lite olika ut. Låt oss först säga . Då får du grejen till vänster.
Det kan också vara så att . Då ser ytan mer ut som på bilden till höger.
Låt oss avsluta vår resa genom 3D-formernas land med hyperboloiden.
Det finns två fall: först det positiva, till exempel , som du kan se till vänster nedan.
Sedan, till höger, har du det negativa fallet .
Kryssprodukt
Multiplikation mellan två vektorer är inte definierad, men det finns två definitioner där multiplikation fortfarande används mellan elementen: skalärprodukt och kryssprodukt (eller vektorprodukt).
Kryssprodukten av två vektorer är en tredje vektor, och den kommer att bilda vinklar till de andra två
Medan skalärprodukten av två vektorer resulterar i en skalär, är kryssprodukten mellan två vektorer en ny vektor.
Vektorn som resulterar från en kryssprodukt kommer att vara vinkelrät mot de två vektorerna som multipliceras. Detta betyder att det bildar en vinkel för dem båda.
En annan skillnad mellan de två typerna av vektormultiplikation är att kryssprodukten endast definieras för tre dimensioner ( ), medan skalärprodukten är definierad för alla dimensioner i rummet.
Låt oss undersöka hur kryssprodukten av två vektorer beräknas:
Låt och vara vektorer i . Sedan kryssprodukten av och som och definieras som:
Följande egenskaper gäller för kryssprodukten:
Låt , och vara vektorer i och vara en skalär. Då har vi:
Projektion på vektor
Så du är ute på en promenad och tar en pinne från marken. Den har en "V"-form, så här:
Det är en solig dag, och den övre delen kastar en skugga på den nedre kvisten. Eftersom du är lite nördig försöker du beräkna längden på skuggan. Detta är naturligtvis ett problem av yttersta vikt!
Nu övergår vi till linjär algebra. Låt oss kalla den övre kvisten och den nedre . Spetsen på kan ligga på och spetsen på vid . Vad ska man göra? Tja, vi har en praktisk formel för det. Beräkna bara:
Det är din skugga, mer formellt kallad en vektorprojektion . Nu betecknar den lilla pricken mellan och ett av de två sätten på vilka vektorer kan multipliceras med varandra. Japp, du gissade rätt: skalärprodukt .
Skalärprodukt
Skalärprodukten resulterar i en skalär (ett tal), och är därför också känd som skalärprodukten . Vanligtvis betecknas det som antingen eller .
Låt och vara två vektorer i :
då är skalärprodukten algebraiskt definierad som:
och skalärprodukten har följande geometriska definition:
där avser längden på vektorn och avser vinkeln mellan och .
Den skalära produkten är också definierad för med samma geometriska samband som ovan för . Beräkningen fungerar analogt:
Följaktligen är skuggan som kastar på :
