Funktioner av flera variabler

Här kommer en föreläsningsanteckning med definitioner. Vi kommer att behöva dem senare, så håll dem bara i bakhuvudet. Egenskaperna för en definitionsmängd av en funktion avgör nämligen om vi kan göra vissa typer av beräkningar på den.

En mängd är en ensemble av punkter som bestäms av koordinaterna . Till varje punkt i en mängd finns det lika många koordinater som det finns dimensioner i utrymmet där mängden bor. Till exempel består varje delmängd av av punkter med två koordinater.

Vi ska titta på två egenskaper hos mängder: slutenhet och begränsadhet .

Kom ihåg hur vi definierar stängda och öppna intervall:

Det första intervallet är öppet, det andra är stängt.

Randen för ett intervall är bara två punkter. Randen för en mängd i är en kurva, och i är det en yta. I är det inte så lätt att tänka på hur det ser ut, men det är okej, egenskaperna som kommer med en rand förblir desamma.

Analogt med det stängda intervallet har en mängd som är sluten alla sina randpunkter inkluderade i sig. Detta är ett sluten mängd :

Om vi tar bort alla randpunkterna så får vi ett öppen mängd , som kan illustreras så här:

Som ett exempel, betrakta en solid sfär, centrerad vid punkten . En öppen solid sfär är:

Detta är å andra sidan en sluten solid sfär:

En sidoanteckning: är varken öppen eller stängd, eftersom den inte har några randpunkter.

Låt vara en punkt i . Sedan är avgränsad om det finns ett tal så att för alla .

Blobbarna ovanför är avgränsade, liksom de solida sfärerna. är obegränsad: det finns inget nummer så att för alla punkter, eftersom punkterna går hela vägen till oändligheten.

Av samma anledning är mängden också obegränsad :

För en funktion i en variabel hänvisar definitionsmängden till den mängden värden vi kan plugga in för , och målmängden är en mängd som definierar vilken typ av utdata som kan vara förväntas. Vi skriver:

När vi tittar på för alla möjliga kan vi upptäcka att inte alla värden är mappade till. Därför definierar vi bilden , eller området , som mängden av möjliga utdata för , givet definitionsmängden .

Samma termer används för funktioner i flera variabler. Skillnaden är nu att i stället för att vara sammansatta av enstaka värden för och , definitionsmängden, målmängd och bilden för en funktion vara sammansatt av punkter i något flerdimensionellt utrymme.

Funktionerna vi fokuserar på i den här kursen är mest sådana som tar in två verkliga oberoende variabler och , för att spotta ut en beroende variabel . Dessa kallas skalära funktioner av två variabler och ger upphov till krökta ytor i ett tredimensionellt utrymme.

målmängden är vanligtvis , alla reella talen, och vi säger att det är en verkligt värderad funktion .

Som ett exempel, titta på funktionen ovan, där definitionsmängden är mängden av tvådimensionella punkter med och .

En skalär funktion av tre variabler kan ses som att ta en punkt i ett 3-dimensionellt utrymme och tilldela en densitet av materialet som utgör utrymmet till den punkten.

Om vi föreställer oss att det 3-dimensionella utrymmet består av dåligt blandad pannkakssmet full av klumpar, kan vi beskriva det varierande mjölinnehållet i smeten med en funktion .

Funktioner för ännu fler variabler är svåra att beskriva intuitivt, men matematiken fungerar precis likadant.

Den allmänna formen av skalära funktioner är:

där anger dimensionen för valfri punkt i definitionsmängden.

I motsats till skalära funktioner, producerar en vektorvärderad funktion ett utdata med -variabler, där definierar dimensionen av elementen i målmängden. Varje variabel i utdatat beror på indatat .

Indatat kan bestå av en oberoende variabel:

Vi har redan sett funktioner av denna typ när vi talar om parametrisering av kurvor. Med var ortsvektorn med som parameter:

Denna funktion tar in en variabel och avbildningar den på en vektor i .

Alternativt kan funktionens definitionsmängd innehålla punkter i valfri dimension , vilket gör den till en vektorvärderad funktion av -variabler:

Dessa funktioner visas ofta i samband med förändring av variabler, med . Till exempel är variabeltransformationen till polära koordinater en funktion:

som definieras av:

Du snubblar över en funktion i på ditt skrivbord. Den har en besvärlig form, dess yta helt kuperad och vinglig.

Nivåkurvor låter dig ta ner en funktion i 3D på ett 2D-plan. Många begrepp i matematik har esoteriska tillämpningar, svåra att uppskatta för de flesta av oss. Nivåkurvor är ett skarpt undantag, åtminstone om du någonsin sett dina ögon på en terrängkarta.

nivåkurvor på en terrängkarta är kurviga, krulliga linjer som visar samma höjd. Att gå längs en nivåkurva innebär att du håller dig på samma höjd hela tiden.

Vi kan tolka nivån över havet som en funktion av ytkoordinaterna, och genom att kalla ytkoordinaterna och så har vi en funktion i två variabler , där är nivån över havet.

Om vi låter , med (någon konstant), hittar vi nivåkurvor för , genom att variera och så mycket vi kan samtidigt som vi uppfyller ekvationen för nivåkurvan:

En intuitiv tolkning av konceptet med nivåkurvor är: tänk dig att klippa en graf i med plan parallella med -planet. Skärningarna är nivåkurvor: längs hela kurvan utskuren av planet är -värdet detsamma.

nivåkurvor till funktionen:

ges av skärningen med planet:

Korsningen kan skrivas som:

Således kan nivåkurvor uttryckas som koncentriska cirklar med radien .