Intro
Attraktorer och repellers kännetecknar ett systems tendens att dras mot eller bort från något tillstånd. Dessa koncept hjälper oss att förutsäga beteendet hos avancerade system.
Tänk till exempel på att storstäder tenderar att samla fler och fler människor genom den urbana revolutionen. Därför fungerar de som attraktionskrafter, vilket förbättrar våra chanser att gissa hur människor kommer att fördelas i ett framtida samhälle.
Ett exempel som målar bilden ännu tydligare är en pendel, där den nedre positionen är en attraherande och den översta är en repeller.
Att bara titta på ekvationerna för ett komplext system är det ofta svårt att avgöra om något specifikt tillstånd är en attraherande eller repeller. Det är då användbart att vända sig till differentialer och att titta på små förändringar i ekvationernas variabler och observera effekten.
Koncept
Låt vara en funktion av två variabler. Om du tar ett litet steg längs de två axlarna:
då kommer värdet på att ändras med . Det finns två delar som bidrar till , en kommer från och den andra från .
Kom ihåg att derivatan mäter hur mycket funktionen ändras per tillryggalagd enhet.
Så om du går längden längs -axeln kommer funktionen att ändras med:
På liknande sätt, om du går längden längs -axeln, kommer funktionen att ändras med:
Den totala förändringen är alltså:
Summering
Differentialen för en funktion är:
En tolkning är att om vi tar ett litet steg så beror funktionsändringen på partiella derivatorna.
Differentialer
Definition av differentialer
I matematisk analys hänvisar vi till differentialer som en approximation av en förändring i funktionsvärde för en funktion när vi tar ett litet steg i riktningen . Detta ger skillnaden i funktionsvärde:
Differentialen, å andra sidan, hänvisar vi till som , och den definieras enligt följande:
Differentialen är en approximation av förändringen i funktionsvärdet
består av alla partiella derivatorna multiplicerat med motsvarande komponent i vektorn . Intuitivt består approximationen av förändringen av = (förändringshastighet i -riktning) (längden på det lilla steget ), i varje riktning .
Lägger vi till alla dessa små, approximerade ändringar, får vi , den approximerade ändringen i funktionsvärdet. Om alla är små får vi en ganska bra approximation av förändringen i funktionsvärde. En liten varning: vi kräver att är differentierbar för att detta ska hålla.
I två variabler
Låt oss ta det ner till vårt favoritutrymme , där det är vackert. Tänk på funktionsytan:
Låt oss kalla det . Genom att zooma in på den lilla kvadraten med i hörnet, konstruerar vi differentialen genom bilder.
Nedan har vi indikerat förändringen i funktionsvärdet när vi gör förskjutningen i -planet. Du kan också se approximationen av ändringen, .
Men hur fick vi denna approximation då? Tja, differentialen för vår tvåvariabelfunktion är:
Så vi tar partiella derivatorna i och -riktningarna vid , och multiplicerar dem med stegkomponenterna respektive . Lägger vi ihop dessa två termer får vi :
Geometriskt kan vi alltså tolka differentialen som en approximation av med dess tangentplan.
Differentierbarhet
För en envariabel funktion hänvisar differentiabilitet till blotta existensen av derivatan .
När det kommer till funktioner av fler variabler räcker dock inte förekomsten av alla första ordningens partiella derivator i en punkt för att göra dem differentierbara där. Det som krävs för att existera är istället en linjär approximation .
Intuitivt är detta vettigt eftersom vi måste kunna hitta en funktions lutning inte bara i - och -riktningarna, utan också i vilken annan riktning som helst i hela -planet.
En funktion av två variabler är differentierbar varhelst det finns ett icke-vertikalt tangentplan
Den linjära approximationen av en funktion av två variabler i en punkt bildas av ett tangentplan:
Flytta nu alla tillräckligt korta avstånd i -riktningen och i -riktningen, bort från , skillnaden mellan funktionens verkliga värde vid ) och den som erhålls genom dess linjära approximation är försumbar.
Mer rigoröst har vi:
En funktion är differentierbar vid , om:
Analogt med denna definition är att säga att är differentierbar vid om och endast om dess yta har ett icke-vertikalt tangentplan där. Detta innebär att funktionen först måste vara kontinuerlig innan den kan differentieras.
Definitionen ovan kan utökas till att även differentiera funktioner i fler variabler, där linjära approximationer består av hyperplan som är svåra att visualisera.
