Necesitamos la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones que tienen una función como argumento. La expresión genérica de tal función es:

Imaginemos que se nos pide calcular la derivada de esto:

Aquí, tendríamos como la función externa y como la función interna.

Podemos calcular tales derivadas jugueteando un poco con la definición de la derivada. Sin embargo, armados con la regla de la cadena, puedes tomar el atajo, directamente a una fórmula pequeña y ordenada:

Usando la notación de Leibniz, la regla también puede escribirse así:

Una nota al margen: algunas literaturas usan la notación para significar . Estos dos tienen el mismo significado.

Para tener una idea de por qué la regla de la cadena es correcta, consideremos a una profesora de matemáticas, ella camina lentamente por el pasillo de la universidad por la noche, mientras las ventanas tiemblan por un tren real que viaja a 10 veces su velocidad. El cielo se ilumina repentinamente por una estrella fugaz, moviéndose a 2000 veces la velocidad del tren.

¿Cuánto más rápida es la estrella, comparada con la profesora de matemáticas?

Sabemos la velocidad relativa de la estrella en comparación con el tren. También sabemos qué tan rápido es el tren en comparación con la profesora. Usando la notación de Leibniz para derivadas, podemos escribir:

Esta es la regla de la cadena. Es solo una forma de descomponer la derivada en partes más pequeñas y manejables.

En el ejemplo, las velocidades son constantes. Podríamos haber hecho el cálculo sin saber acerca de la regla de la cadena. Sin embargo, a medida que las derivadas se vuelven más complicadas, es igualmente válida y mucho más poderosa.

Echemos un vistazo al ejemplo que mencionamos al principio. Tomamos la derivada de paso a paso, teniendo en cuenta que definimos y . Obtenemos:

Frecuentemente, te encontrarás con funciones que tienen una función interna dentro de la función interna, o donde la función interna es un producto. A veces, la composición es aún más complicada.

Cuando esto sucede, no te desesperes. Para tomar la derivada de una función compuesta, aplicamos las reglas en secuencia.

Sin embargo, es común cierta confusión inicial, y tomar la derivada es un arte que requiere práctica. Los ejercicios son un buen lugar para comenzar a dominar este tema.