Derivadas

Mientras estás sentado en un vuelo, ¿te sorprende lo rápido que son los aviones, verdad? De hecho, el auxiliar de vuelo dice que te estás moviendo a algo así como km/h.

Pero obviamente, el avión no avanza a una velocidad constante. Si hay una ráfaga de viento fuerte, podrías moverte a km/h.

La derivada, denotada por este símbolo curioso , nos permite encontrar la velocidad en un momento dado. Entonces, si es tu posición como función del tiempo, entonces es tu velocidad.

Y como te mueves tan rápido, tu posición cambia mucho en un pequeño intervalo de tiempo. Esto significa que es enorme.

La forma en que encontramos la derivada en realidad se parece a la forma en que calculamos la velocidad.

Para calcular la velocidad, nos centraremos en un pequeño intervalo de tiempo . La velocidad, entonces, es simplemente la distancia dividida por el tiempo,

¿Y qué hay de la derivada?

De hecho, puedes pensar en la derivada como el valor de la función de la velocidad, la rapidez con la que cambia el valor de la función.

Imagina que estás parado en el eje y luego das un pequeño paso a la derecha. Llamamos a ese paso . Esto provoca un cambio en el valor de la función, que se convierte en . El cambio en el valor de la función es:

Pero no tendría sentido medir solo el valor , ya que depende del tamaño de . Para tener en cuenta el tamaño de , dividámoslo por .

Si es pequeño, también lo es , pero se compensa con la división por .

Esta cosa describe la tasa de cambio dentro de un intervalo diminuto, de a . Es nuestro

Sin embargo, queremos calcular la tasa de cambio en un punto particular, no dentro de un intervalo.

Suponiendo que está definida en un intervalo alrededor de , la derivada de en el punto es

y se escribe como .

Una advertencia. Recuerda que es un número regular, no . Por eso el cálculo anterior funciona.

Diferenciar una función en un punto es encontrar la derivada, o la pendiente, de la función en ese punto.

Lo que nos gustaría hacer es definir una función que asigne a cada punto en el dominio de su derivada. Llamamos a la función derivada de .

Esto no siempre es posible, ya que una función puede no tener una pendiente en cada punto. Cuando esto sucede, la derivada no existe, y decimos que la función no es diferenciable.

Echa un vistazo a estas dos curvas:

1.

2.

Comparten su forma general, pero mientras la primera es diferenciable en la cima, la segunda no lo es.

Recordemos la definición de la derivada:

Para que este límite, y por lo tanto la derivada, exista en un punto , el límite de la función derivada debe ser el mismo cuando se acerca a tanto desde arriba como desde abajo:

Ahora que entendemos lo que significa que una función sea diferenciable en un punto, veamos qué hace que una función sea diferenciable en general:

Para mejorar nuestra comprensión de la diferenciabilidad, veamos algunos ejemplos de funciones de valor real:

Primero, observa:

Sea cual sea el punto que miremos, podemos encontrar la derivada de la función, por lo que este es un ejemplo de una función diferenciable.

Como ejemplo de una función no diferenciable, echa un vistazo a esta:

La función también puede definirse por tramos como:

Si tomamos el límite de cuando se acerca a por arriba, obtenemos , la pendiente de la línea derecha.

De manera similar, tomando el límite de cuando se acerca a por debajo, obtenemos , la pendiente de la línea izquierda.

Entonces:

concluimos que la derivada no existe en . Este solo punto es suficiente para hacer que sea una función no diferenciable.

Como comentario final, la diferenciabilidad está conectada a la continuidad en el sentido de que si una función no es continua en un intervalo, tampoco será diferenciable en ese intervalo.

Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Como vimos en el ejemplo de , una función puede ser continua en todo su dominio pero no diferenciable.

Si una función es diferenciable, su derivada será otra función . ¿Y quién dice que no podemos tomar la derivada de ?

Mientras que sea también diferenciable, podemos tomar la derivada para producir , conocida como la segunda derivada de .

Si dejamos que sea la posición de un avión como función del tiempo, su derivada será la velocidad del avión en cualquier momento.

Ahora, la derivada de , que es la derivada de la función de velocidad y la segunda derivada de la función de posición, produce una función de la aceleración del avión.

La derivada se puede encontrar para cualquier función diferenciable, por lo que no hay límite en cuántas derivadas podemos tomar siempre que persista la propiedad de diferenciabilidad.

Sin embargo, hay un límite en cuántos símbolos de prima colocamos después de la , si es la función que estamos diferenciando.

La tercera derivada generalmente se denota como , pero para cualquier derivada de orden superior a eso, comenzamos a usar el número de orden, puesto entre paréntesis.

Por lo tanto, la cuarta derivada de se convierte en , la quinta será , y así sucesivamente.

Supongamos que quieres hacer un cálculo mental de . Algo difícil, ¿eh?

Sin embargo, usando cálculo, podemos encontrar una aproximación razonable.

Tómate un momento para pensar en el gráfico de .

Sabemos que . Luego damos un pequeño paso, , en la dirección . Esto provoca un cambio en la dirección .

Para valores de cerca de podríamos aproximar dibujando una línea recta a través del punto , que es el punto , con la misma pendiente que .

Este tipo de línea, que solo toca el gráfico de la función en un punto dado, se llama línea tangente.

¿Cómo podemos encontrar la línea tangente?

La receta genérica para una línea es

donde es la pendiente y es una constante.

Si la pendiente de la línea debe alinearse con la pendiente del gráfico, debe ser igual a la derivada de en .

Vamos a calcular . La derivada de resulta ser , y . Esto significa que .

Además, queremos que nuestra línea toque en el punto . Introduciendo y en nuestra receta para una línea recta, obtenemos:

Esto significa que .

Dado que está cerca de . Evaluar en dará una buena estimación de . Por lo tanto:

Mi calculadora dice que , así que lo hicimos bastante bien.

Este truco se conoce como aproximación lineal.

Cuando hablamos de la derivada, seguimos mencionando cambios diminutos. A medida que cambia un poco, ¿qué pasa con ?

Por muy abstracto que pueda sonar, en realidad hay una notación matemática para describir cambios infinitesimales en una cantidad. Los llamamos diferenciales.

La definición rigurosa está enterrada bajo una gran pila de teoría mucho más allá de nuestro alcance. Pero, afortunadamente, la definición informal es casi siempre suficiente.

El diferencial de una variable se denota , y se puede definir informalmente de la siguiente manera:

es un cambio pequeño en , incluso más pequeño que cualquier número real.

La principal preocupación con esta definición es que los números reales pueden ser arbitrariamente pequeños, lo que hace dudoso si los diferenciales existen o no. Aún así, resulta extremadamente útil aceptarlos como un cambio realmente diminuto.

Análogamente, si nuestra variable es el tiempo, denotado , entonces el diferencial sería . Esto se refiere a un intervalo de tiempo muy pequeño. También podemos usarlo para funciones: dada una función , el diferencial correspondiente sería .

Si se enfrenta con una ecuación que contiene diferenciales, uno puede tratar el diferencial como una variable regular. Por ejemplo, podemos sumar, multiplicar y dividir con diferenciales.

Hasta ahora, dada una función , nos hemos referido a su derivada como . La notación de Leibniz introduce una nueva forma de escribir derivadas.

Sea . Entonces, es el cambio diminuto en , a medida que cambia con una cantidad diminuta .

Escrito con la notación de Leibniz, la derivada de es:

Como con la definición de la derivada usando límites, no pretendemos dividir por , solo compararlos.

Tenga en cuenta que esto es solo una nueva forma de escribir. Así que:

¿Pero por qué queremos esto?

Bueno, la notación de Leibniz hace posible separar el del . Eso puede parecer dudoso, pero resultará ser increíblemente útil para resolver ciertos tipos de ecuaciones.