Una necesidad natural es poder calcular distancias en el espacio. Puede ser la distancia entre dos puntos, entre un punto y una línea o entre una línea y un plano. Hay fórmulas de distancia para los diferentes casos, y se presentan aquí.

Es tentador memorizar estas fórmulas, pero no se recomienda porque hay una fuerte conexión entre los estudiantes que no aprueban el examen y aquellos que memorizan estas fórmulas en lugar de aprender el oficio.

Por una distancia , siempre nos referimos a la distancia más corta entre dos puntos, que es equivalente a calcular la longitud de un vector que se ha creado a partir de estos dos puntos. La siguiente función se aplica para :

lo cual se puede reconocer de la longitud de un vector. Dado que cada vector es una diferencia relativa en los diferentes términos, es decir, una flecha entre dos puntos, la fórmula para la distancia entre los puntos se puede derivar de la definición de la longitud de un vector.
Lo siguiente se aplica a la fórmula de distancia :

Cubriremos dos métodos para calcular la distancia entre un punto y una línea .

Sea:

Tome un punto ubicado en la línea . Con un poco de creatividad, se puede ver que y generan un paralelogramo con la altura . El área es la base multiplicada por la altura, que también es igual a la longitud del producto vectorial . Por lo tanto, podemos dividir este último por la norma de la base (el vector ) para obtener la altura .

La fórmula anterior solo funciona para porque el producto vectorial solo está definido entonces.

Sea:

La distancia se puede encontrar por proyección, una relación que se ilustra mediante una simple suma vectorial:

Por lo tanto, se aplica que:

Considere la distancia más corta entre el punto y el punto en la línea cuyo vector forma un ángulo recto con la línea. Si tanto como son puntos conocidos, el cálculo de la longitud es simple, a saber:

Recuerde que , lo que significa que el vector es ortogonal a la línea . Encontramos el punto desconocido estableciendo el requisito correspondiente para , es decir, la ecuación:

Dado que los dos vectores forman un ángulo recto, el producto escalar se convierte en 0. El punto es desconocido con varias coordenadas, lo que resulta en varias incógnitas (una por coordenada) mientras que solo tenemos una ecuación. Sin embargo, el punto se puede expresar utilizando la forma paramétrica para para algún valor de parámetro desconocido :

donde y son conocidos. Hacemos la siguiente sustitución:

Se resuelve la ecuación para el valor aún desconocido, a saber, , ya que el vector forma un ángulo recto con . Cuando se resuelva, inserte en la forma paramétrica y obtenga el punto deseado . Entonces tenemos dos puntos conocidos, y , y la distancia entre ellos es la norma de su vector:

Con un poco de creatividad, podemos construir el plano que contiene el punto y tiene un vector normal paralelo al vector de dirección para . Desde allí, se puede determinar el punto de intersección entre y , que también será el punto más cercano en la línea a . El procedimiento es el siguiente:

Sea un plano y un punto en el espacio como sigue:

Cree la línea que pasa por el punto y golpea el plano en ángulo recto. Por lo tanto, el vector de dirección se convierte en el vector normal del plano (que leemos de la ecuación del plano). Entonces obtenemos:

Estamos buscando el punto de intersección entre la línea y el plano . La forma paramétrica para expresa todos los puntos a lo largo de la línea, y podemos expresar cada uno de estos puntos de la siguiente manera:

Nuestro diseño de garantiza un punto de intersección precisamente porque el vector de dirección es el vector normal del plano. Por lo tanto, ponemos la expresión anterior en la ecuación del plano:

La ecuación anterior se resuelve fácilmente porque solo es desconocido. Anotemos la solución como :

lo que también devuelve el punto de intersección deseado cuando se inserta en la forma paramétrica para . El punto por lo tanto tiene las siguientes coordenadas:

Ahora tanto como son conocidos, y por lo tanto la distancia se calcula fácilmente creando un vector y calculando la norma:

Lo que lleva a la fórmula para la distancia entre un punto y un plano. Nuevamente - se recomienda recordar el método que lleva a la fórmula en lugar de recordar la fórmula de memoria!